Descomposición en factores primos: cada número en ladrillos… — 11–13
Descompón un número en factores primos, con un árbol o por divisiones sucesivas, y descubre por qué solo hay una manera de hacerlo.
Escribir un número como producto de primos
Todo número natural mayor que 1 o es primo o se puede escribir como producto de primos. Por ejemplo, 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. Se llama descomposición en factores primos: vas partiendo el número en factores hasta que todos sean primos, y juntas los iguales en una potencia. El orden de los factores no cuenta (5 × 3 × 2 × 2 es el mismo producto), y cada número tiene una sola descomposición.
Por qué la descomposición es siempre la misma
Los primos son los ladrillos de los números naturales: ya no se pueden partir más. Parte el 60 de maneras distintas: 6 × 10 = (2 × 3) × (2 × 5); 4 × 15 = (2 × 2) × (3 × 5); 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5. Los caminos son distintos, pero todos acaban en los mismos primos: dos 2, un 3 y un 5. Por eso se dice que la descomposición es única: es como el documento de identidad del número. Ningún otro número está hecho de 2² × 3 × 5.
Descomponer el 72 con un árbol y con divisiones
Árbol: 72 = 8 × 9; luego 8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2 y 9 = 3 × 3. Divisiones sucesivas, siempre por el primo más pequeño que sirva: 72 ÷ 2 = 36; 36 ÷ 2 = 18; 18 ÷ 2 = 9; 9 ÷ 3 = 3; 3 ÷ 3 = 1. Los divisores usados fueron 2, 2, 2, 3, 3. Por los dos caminos, 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3². Comprueba: 8 × 9 = 72.
La trampa: parar demasiado pronto
Un despiste razonable: escribir 72 = 8 × 9, o 72 = 2 × 2 × 2 × 9, y creer que ya está. Son productos, pero el 8 y el 9 no son primos (8 = 2 × 2 × 2 y 9 = 3 × 3). Prueba cada factor: un primo solo tiene dos divisores. Otro despiste es pensar que 2 × 2 × 2 × 3 × 3 y 3 × 2 × 3 × 2 × 2 son dos descomposiciones distintas: solo cambió el orden. Y no escribas el 1 como factor: no es primo, y multiplicar por 1 no cambia nada.
Dónde lo ves fuera de la escuela: proteger datos
Multiplicar dos primos es fácil: 89 × 97 = 8633. Pero, con solo el 8633 en la mano, descubrir qué dos primos lo formaron exige muchas pruebas de divisores. Con primos de cientos de cifras, los ordenadores de hoy no lo logran en un tiempo útil, y parte de la protección de mensajes y pagos en línea se apoya en eso. Y, como la descomposición es única, hay exactamente una respuesta correcta que encontrar.
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