Matemática 7.º ano: Conjeturar, testar e justificar com letras
Matemática, 7.º ano (Portugal): De um padrão a uma afirmação: testá-la, distinguir testar de validar e justificá-la com letras ou deitá-la abaixo com um contraexemplo.
Classificar, ver um padrão, conjeturar
Classifica estes números pelos conjuntos a que pertencem: 7 e 12 são números naturais (ℕ); −4 é um número inteiro (ℤ) mas não é natural; 2/5 e −1,5 são números racionais (ℚ) mas não são inteiros. Todos são racionais (−4 = −4/1) e os naturais são também inteiros. Desta regularidade nasce uma conjetura: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ, cada conjunto dentro do seguinte. Uma conjetura é uma afirmação em que acreditas por causa de um padrão. Testa-se em casos; para a validar, tens de mostrar que vale sempre.
Testar não é validar
Conjetura: «para todo o número natural n, n × (n + 1) + 17 é primo». Teste: n = 1 dá 19, depois 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227 e, para n = 15, 257: quinze testes, quinze primos. Apetece acreditar. Mas n = 16 dá 16 × 17 + 17 = 289 = 17 × 17, que não é primo. Testar é experimentar casos e pode apoiar uma conjetura; validar é mostrar que vale para todos os casos. Basta um contraexemplo para mostrar que uma conjetura é falsa.
Um caso: três inteiros consecutivos
Conjetura: a soma de três números inteiros consecutivos é o triplo do inteiro do meio. Testes: 4 + 5 + 6 = 15 = 3 × 5, e (−3) + (−2) + (−1) = −6 = 3 × (−2). Ambos resultam, mas só testam. Para validar, chama n ao inteiro do meio: o anterior é n − 1 e o seguinte é n + 1. Então (n − 1) + n + (n + 1) = n + n + n + (−1 + 1) = 3 × n. Nada depende do valor de n, positivo ou negativo, por isso é verdade em todos os casos. A letra leva o argumento todo numa linha.
«Menos a» nem sempre é negativo
A Ana testou −a com a = 3, 8 e 20 e obteve −3, −8 e −20. A conjetura dela: «−a é sempre um número negativo». Mas a letra a pode guardar qualquer inteiro, também um negativo. Com a = −4: −a = −(−4) = 4, que é positivo. Um contraexemplo e a conjetura é falsa. O erro razoável é ler o sinal menos como «negativo»; ele quer dizer o simétrico de a. Para o evitar, testa com números de vários tipos: positivos, negativos e também 0, porque −0 = 0.
Onde se vê: cinco maneiras de justificar
Quem tem de convencer alguém usa uma destas. Contraexemplo: «a subtração é comutativa» falha, 5 − 3 = 2 mas 3 − 5 = −2. Exaustão: com poucos casos, verificam-se todos (os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12). Exemplo genérico: um argumento que não depende do número escolhido. Coerência lógica: encadear factos que já conheces. Redução ao absurdo: se a soma de um par com um ímpar fosse par, o ímpar seria par − par, logo par: absurdo. Cada uma serve a sua situação.
Testa o que aprendeste
A Sara experimentou «a soma de dois inteiros é um inteiro» com 3 + 4 = 7, −5 + 2 = −3 e −7 + (−1) = −8. O que fez?
- a) Validou-a, porque três casos chegam
- b) Refutou-a, porque duas das somas são negativas
- c) Ainda nada: os testes só contam depois de pelo menos dez casos
- d) Testou-a em três casos; para a validar tem de mostrar que vale para todos os inteiros
Resposta certa: d) Testou-a em três casos; para a validar tem de mostrar que vale para todos os inteiros — Certo: os casos podem apoiar uma conjetura, mas validar é mostrar que vale para todos (ou achar um em que falha).
Conjetura: «n × (n + 1) + 17 é primo para todo o número natural n». Que dá n = 16 e o que mostra?
- a) 289 = 17 × 17, não é primo: um contraexemplo, logo a conjetura é falsa
- b) 289, que é primo por ser ímpar, logo a conjetura continua a valer
- c) 289 não é primo, mas a conjetura continua a valer, porque resultou 15 vezes
- d) 273 = 3 × 91, não é primo, logo é um contraexemplo
Resposta certa: a) 289 = 17 × 17, não é primo: um contraexemplo, logo a conjetura é falsa — Certo: 16 × 17 = 272 e 272 + 17 = 289 = 17 × 17. Um contraexemplo basta para a refutar.
A Ana afirma: «−a é sempre um número negativo». Qual é a melhor resposta?
- a) Ela tem razão: o sinal menos torna sempre um número negativo
- b) Depende de a: com a = 3, −a = −3, mas com a = −4, −a = 4, um contraexemplo
- c) Ela tem razão, porque testou a = 3, 8 e 20 e todos deram negativos
- d) Está errada ao contrário: −a é sempre positivo
Resposta certa: b) Depende de a: com a = 3, −a = −3, mas com a = −4, −a = 4, um contraexemplo — Certo: a letra pode guardar um número negativo, e um contraexemplo basta para refutar a afirmação.
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