Mathematik Klasse 7: Vermuten, testen und mit Buchstaben begründen
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Vom Muster zur Aussage: sie testen, Testen vom Beweisen unterscheiden und mit Buchstaben begründen oder mit einem Gegenbeispiel widerlegen.
Ordnen, ein Muster sehen, vermuten
Ordne diese Zahlen den Mengen zu, zu denen sie gehören: 7 und 12 sind natürliche Zahlen (ℕ); −4 ist eine ganze Zahl (ℤ), aber nicht natürlich; 2/5 und −1,5 sind rationale Zahlen (ℚ), aber nicht ganz. Alle sind rational (−4 = −4/1), und die natürlichen sind auch ganz. Aus dieser Regelmäßigkeit entsteht eine Vermutung: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ, jede Menge in der nächsten. Eine Vermutung ist eine Aussage, die du wegen eines Musters glaubst. Man testet sie an Fällen; um sie zu beweisen, muss man zeigen, dass sie immer gilt.
Testen ist nicht Beweisen
Vermutung: „Für jede natürliche Zahl n ist n × (n + 1) + 17 eine Primzahl.“ Test: n = 1 ergibt 19, dann 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227 und für n = 15 257: fünfzehn Tests, fünfzehn Primzahlen. Man möchte es glauben. Doch n = 16 ergibt 16 × 17 + 17 = 289 = 17 × 17, keine Primzahl. Testen probiert Fälle aus und kann eine Vermutung stützen; Beweisen zeigt, dass sie für alle Fälle gilt. Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um sie zu widerlegen.
Ein Fall: drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen
Vermutung: Die Summe dreier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist das Dreifache der mittleren. Tests: 4 + 5 + 6 = 15 = 3 × 5 und (−3) + (−2) + (−1) = −6 = 3 × (−2). Beide klappen, aber sie testen nur. Zum Beweisen nenne die mittlere Zahl n: die davor ist n − 1, die danach n + 1. Dann (n − 1) + n + (n + 1) = n + n + n + (−1 + 1) = 3 × n. Nichts hängt vom Wert von n ab, positiv oder negativ, also gilt es in jedem Fall. Der Buchstabe trägt das ganze Argument in einer Zeile.
„Minus a“ ist nicht immer negativ
Ana testete −a mit a = 3, 8 und 20 und erhielt −3, −8 und −20. Ihre Vermutung: „−a ist immer eine negative Zahl.“ Doch der Buchstabe a kann jede ganze Zahl sein, auch eine negative. Mit a = −4: −a = −(−4) = 4, und das ist positiv. Ein Gegenbeispiel, und die Vermutung ist falsch. Der naheliegende Fehler ist, das Minuszeichen als „negativ“ zu lesen; es bedeutet die Gegenzahl von a. Um ihn zu vermeiden, teste mit verschiedenen Zahlenarten: positiv, negativ und auch 0, denn −0 = 0.
Wo man es sieht: fünf Arten zu begründen
Wer jemanden überzeugen muss, nutzt eine davon. Gegenbeispiel: „Die Subtraktion ist kommutativ“ scheitert, 5 − 3 = 2, aber 3 − 5 = −2. Alle Fälle prüfen: Bei wenigen Fällen prüft man alle (die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12). Verallgemeinerbares Beispiel: ein Argument, das nicht von der gewählten Zahl abhängt. Logische Folgerung: bekannte Tatsachen verketten. Widerspruchsbeweis: Wäre gerade + ungerade gerade, wäre die ungerade Zahl gerade − gerade, also gerade: Widerspruch. Jede passt zu ihrer Situation.
Teste, was du gelernt hast
Sara probierte „Die Summe zweier ganzer Zahlen ist ganz“ an 3 + 4 = 7, −5 + 2 = −3 und −7 + (−1) = −8. Was hat sie getan?
- a) Sie hat sie bewiesen, weil drei Fälle genügen
- b) Sie hat sie widerlegt, weil zwei der Summen negativ sind
- c) Noch nichts: Tests zählen erst ab zehn Fällen
- d) Sie hat sie an drei Fällen getestet; um sie zu beweisen, muss sie zeigen, dass sie für alle ganzen Zahlen gilt
Richtige Antwort: d) Sie hat sie an drei Fällen getestet; um sie zu beweisen, muss sie zeigen, dass sie für alle ganzen Zahlen gilt — Richtig: Fälle können eine Vermutung stützen, doch Beweisen heißt zeigen, dass sie für alle gilt (oder einen Fall finden, in dem sie scheitert).
Vermutung: „n × (n + 1) + 17 ist für jede natürliche Zahl n eine Primzahl.“ Was ergibt n = 16, und was zeigt es?
- a) 289 = 17 × 17, keine Primzahl: ein Gegenbeispiel, die Vermutung ist also falsch
- b) 289, das prim ist, weil es ungerade ist, die Vermutung gilt also weiter
- c) 289 ist nicht prim, aber die Vermutung gilt weiter, denn sie klappte 15-mal
- d) 273 = 3 × 91, keine Primzahl, also ein Gegenbeispiel
Richtige Antwort: a) 289 = 17 × 17, keine Primzahl: ein Gegenbeispiel, die Vermutung ist also falsch — Richtig: 16 × 17 = 272 und 272 + 17 = 289 = 17 × 17. Ein Gegenbeispiel genügt, um sie zu widerlegen.
Ana behauptet: „−a ist immer eine negative Zahl.“ Welche Antwort ist am besten?
- a) Sie hat recht: Das Minuszeichen macht jede Zahl negativ
- b) Es hängt von a ab: Für a = 3 ist −a = −3, aber für a = −4 ist −a = 4, ein Gegenbeispiel
- c) Sie hat recht, denn sie testete a = 3, 8 und 20 und alle ergaben Negatives
- d) Sie irrt in die andere Richtung: −a ist immer positiv
Richtige Antwort: b) Es hängt von a ab: Für a = 3 ist −a = −3, aber für a = −4 ist −a = 4, ein Gegenbeispiel — Richtig: Der Buchstabe kann eine negative Zahl sein, und ein Gegenbeispiel genügt, um die Aussage zu widerlegen.
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