Matemáticas 7.º curso: Conjeturar, comprobar y justificar con letras
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): De un patrón a una afirmación: comprobarla, distinguir comprobar de validar y justificarla con letras o tumbarla con un contraejemplo.
Clasificar, ver un patrón, conjeturar
Clasifica estos números por los conjuntos a los que pertenecen: 7 y 12 son números naturales (ℕ); −4 es un número entero (ℤ) pero no natural; 2/5 y −1,5 son números racionales (ℚ) pero no enteros. Todos son racionales (−4 = −4/1) y los naturales son también enteros. De esta regularidad nace una conjetura: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ, cada conjunto dentro del siguiente. Una conjetura es una afirmación en la que crees por un patrón. Se comprueba en casos; para validarla, hay que mostrar que vale siempre.
Comprobar no es validar
Conjetura: «para todo número natural n, n × (n + 1) + 17 es primo». Prueba: n = 1 da 19, luego 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227 y, para n = 15, 257: quince pruebas, quince primos. Apetece creerlo. Pero n = 16 da 16 × 17 + 17 = 289 = 17 × 17, que no es primo. Comprobar es probar casos y puede apoyar una conjetura; validar es mostrar que vale para todos los casos. Basta un contraejemplo para mostrar que una conjetura es falsa.
Un caso: tres enteros consecutivos
Conjetura: la suma de tres números enteros consecutivos es el triple del central. Pruebas: 4 + 5 + 6 = 15 = 3 × 5, y (−3) + (−2) + (−1) = −6 = 3 × (−2). Ambas funcionan, pero solo comprueban. Para validar, llama n al entero central: el anterior es n − 1 y el siguiente es n + 1. Entonces (n − 1) + n + (n + 1) = n + n + n + (−1 + 1) = 3 × n. Nada depende del valor de n, positivo o negativo, así que es verdad en todos los casos. La letra lleva todo el argumento en una línea.
«Menos a» no siempre es negativo
Ana probó −a con a = 3, 8 y 20 y obtuvo −3, −8 y −20. Su conjetura: «−a es siempre un número negativo». Pero la letra a puede guardar cualquier entero, también uno negativo. Con a = −4: −a = −(−4) = 4, que es positivo. Un contraejemplo y la conjetura es falsa. El error razonable es leer el signo menos como «negativo»; significa el opuesto de a. Para evitarlo, prueba con números de varios tipos: positivos, negativos y también 0, porque −0 = 0.
Dónde se ve: cinco maneras de justificar
Quien tiene que convencer a alguien usa una de estas. Contraejemplo: «la resta es conmutativa» falla, 5 − 3 = 2 pero 3 − 5 = −2. Recuento de todos los casos: con pocos casos, se comprueban todos (los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12). Ejemplo genérico: un argumento que no depende del número elegido. Coherencia lógica: encadenar hechos que ya conoces. Reducción al absurdo: si un par más un impar fuera par, el impar sería par − par, o sea par: absurdo. Cada una sirve a su situación.
Pon a prueba lo que has aprendido
Sara probó «la suma de dos enteros es un entero» con 3 + 4 = 7, −5 + 2 = −3 y −7 + (−1) = −8. ¿Qué ha hecho?
- a) La validó, porque tres casos bastan
- b) La refutó, porque dos de las sumas son negativas
- c) Todavía nada: las pruebas solo cuentan desde diez casos
- d) La comprobó en tres casos; para validarla debe mostrar que vale para todos los enteros
Respuesta correcta: d) La comprobó en tres casos; para validarla debe mostrar que vale para todos los enteros — Correcto: los casos pueden apoyar una conjetura, pero validar es mostrar que vale para todos (o hallar uno en que falla).
Conjetura: «n × (n + 1) + 17 es primo para todo número natural n». ¿Qué da n = 16 y qué muestra?
- a) 289 = 17 × 17, no es primo: un contraejemplo, luego la conjetura es falsa
- b) 289, que es primo por ser impar, luego la conjetura sigue valiendo
- c) 289 no es primo, pero la conjetura sigue valiendo, porque funcionó 15 veces
- d) 273 = 3 × 91, no es primo, luego es un contraejemplo
Respuesta correcta: a) 289 = 17 × 17, no es primo: un contraejemplo, luego la conjetura es falsa — Correcto: 16 × 17 = 272 y 272 + 17 = 289 = 17 × 17. Un contraejemplo basta para refutarla.
Ana afirma: «−a es siempre un número negativo». ¿Cuál es la mejor respuesta?
- a) Tiene razón: el signo menos vuelve siempre negativo a un número
- b) Depende de a: con a = 3, −a = −3, pero con a = −4, −a = 4, un contraejemplo
- c) Tiene razón, porque probó a = 3, 8 y 20 y todos dieron negativos
- d) Se equivoca al revés: −a es siempre positivo
Respuesta correcta: b) Depende de a: con a = 3, −a = −3, pero con a = −4, −a = 4, un contraejemplo — Correcto: la letra puede guardar un número negativo, y un contraejemplo basta para refutar la afirmación.
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