Matematica classe 7: Congetturare, verificare e giustificare con le lettere
Matematica, classe 7 (Portogallo): Da uno schema a un'affermazione: verificarla, distinguere verificare da convalidare e giustificarla con le lettere o abbatterla con un controesempio.
Classificare, vedere uno schema, congetturare
Classifica questi numeri secondo gli insiemi a cui appartengono: 7 e 12 sono numeri naturali (ℕ); −4 è un numero intero (ℤ) ma non naturale; 2/5 e −1,5 sono numeri razionali (ℚ) ma non interi. Tutti sono razionali (−4 = −4/1) e i naturali sono anche interi. Da questa regolarità nasce una congettura: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ, ogni insieme dentro il successivo. Una congettura è un'affermazione a cui credi per via di uno schema. Si verifica su casi; per convalidarla devi mostrare che vale sempre.
Verificare non è convalidare
Congettura: «per ogni numero naturale n, n × (n + 1) + 17 è primo». Verifica: n = 1 dà 19, poi 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227 e, per n = 15, 257: quindici prove, quindici primi. Viene voglia di crederci. Ma n = 16 dà 16 × 17 + 17 = 289 = 17 × 17, che non è primo. Verificare è provare dei casi e può sostenere una congettura; convalidare è mostrare che vale per tutti i casi. Basta un controesempio per mostrare che una congettura è falsa.
Un caso: tre interi consecutivi
Congettura: la somma di tre interi consecutivi è il triplo di quello centrale. Prove: 4 + 5 + 6 = 15 = 3 × 5, e (−3) + (−2) + (−1) = −6 = 3 × (−2). Entrambe funzionano, ma solo verificano. Per convalidare, chiama n l'intero centrale: il precedente è n − 1 e il successivo è n + 1. Allora (n − 1) + n + (n + 1) = n + n + n + (−1 + 1) = 3 × n. Nulla dipende dal valore di n, positivo o negativo, quindi è vero in ogni caso. La lettera porta tutto l'argomento in una riga.
«Meno a» non è sempre negativo
Ana ha verificato −a con a = 3, 8 e 20 e ha ottenuto −3, −8 e −20. La sua congettura: «−a è sempre un numero negativo». Ma la lettera a può contenere qualsiasi intero, anche negativo. Con a = −4: −a = −(−4) = 4, che è positivo. Un controesempio e la congettura è falsa. L'errore ragionevole è leggere il segno meno come «negativo»; significa l'opposto di a. Per evitarlo, prova con numeri di vari tipi: positivi, negativi e anche 0, perché −0 = 0.
Dove si vede: cinque modi di giustificare
Chi deve convincere qualcuno usa una di queste. Controesempio: «la sottrazione è commutativa» fallisce, 5 − 3 = 2 ma 3 − 5 = −2. Esame di tutti i casi: con pochi casi, si controllano tutti (i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12). Esempio generico: un argomento che non dipende dal numero scelto. Coerenza logica: concatenare fatti già noti. Riduzione all'assurdo: se un pari più un dispari fosse pari, il dispari sarebbe pari − pari, quindi pari: assurdo. Ognuna serve alla sua situazione.
Metti alla prova quello che hai imparato
Sara ha provato «la somma di due interi è un intero» con 3 + 4 = 7, −5 + 2 = −3 e −7 + (−1) = −8. Che cosa ha fatto?
- a) L'ha convalidata, perché bastano tre casi
- b) L'ha confutata, perché due somme sono negative
- c) Ancora nulla: le prove contano solo da dieci casi in su
- d) L'ha verificata su tre casi; per convalidarla deve mostrare che vale per tutti gli interi
Risposta corretta: d) L'ha verificata su tre casi; per convalidarla deve mostrare che vale per tutti gli interi — Giusto: i casi possono sostenere una congettura, ma convalidare è mostrare che vale per tutti (o trovarne uno in cui fallisce).
Congettura: «n × (n + 1) + 17 è primo per ogni numero naturale n». Che cosa dà n = 16 e che cosa mostra?
- a) 289 = 17 × 17, non è primo: un controesempio, quindi la congettura è falsa
- b) 289, che è primo perché dispari, quindi la congettura regge ancora
- c) 289 non è primo, ma la congettura regge, perché ha funzionato 15 volte
- d) 273 = 3 × 91, non è primo, quindi è un controesempio
Risposta corretta: a) 289 = 17 × 17, non è primo: un controesempio, quindi la congettura è falsa — Giusto: 16 × 17 = 272 e 272 + 17 = 289 = 17 × 17. Un controesempio basta per confutarla.
Ana afferma: «−a è sempre un numero negativo». Qual è la risposta migliore?
- a) Ha ragione: il segno meno rende sempre negativo un numero
- b) Dipende da a: con a = 3, −a = −3, ma con a = −4, −a = 4, un controesempio
- c) Ha ragione, perché ha provato a = 3, 8 e 20 e tutti hanno dato negativi
- d) Sbaglia al contrario: −a è sempre positivo
Risposta corretta: b) Dipende da a: con a = 3, −a = −3, ma con a = −4, −a = 4, un controesempio — Giusto: la lettera può contenere un numero negativo, e un controesempio basta per confutare l'affermazione.
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