Mathématiques 7e année : Conjecturer, tester et justifier avec des lettres
Mathématiques, 7e année (Portugal) : D'un motif à une affirmation : la tester, distinguer tester de valider, et la justifier avec des lettres ou la renverser par un contre-exemple.
Classer, repérer un motif, conjecturer
Classe ces nombres selon les ensembles auxquels ils appartiennent : 7 et 12 sont des entiers naturels (ℕ) ; −4 est un entier relatif (ℤ) mais pas naturel ; 2/5 et −1,5 sont des nombres rationnels (ℚ) mais pas des entiers. Tous sont rationnels (−4 = −4/1) et les naturels sont aussi des entiers relatifs. De cette régularité naît une conjecture : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ, chaque ensemble dans le suivant. Une conjecture est une affirmation à laquelle tu crois à cause d'un motif. On la teste sur des cas ; pour la valider, il faut montrer qu'elle vaut toujours.
Tester n'est pas valider
Conjecture : « pour tout entier naturel n, n × (n + 1) + 17 est premier ». Test : n = 1 donne 19, puis 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227 et, pour n = 15, 257 : quinze tests, quinze nombres premiers. Tentant d'y croire. Mais n = 16 donne 16 × 17 + 17 = 289 = 17 × 17, qui n'est pas premier. Tester, c'est essayer des cas, et cela peut appuyer une conjecture ; valider, c'est montrer qu'elle vaut pour tous les cas. Un seul contre-exemple suffit à montrer qu'une conjecture est fausse.
Un cas : trois entiers consécutifs
Conjecture : la somme de trois entiers consécutifs est le triple de celui du milieu. Tests : 4 + 5 + 6 = 15 = 3 × 5, et (−3) + (−2) + (−1) = −6 = 3 × (−2). Les deux marchent, mais ils ne font que tester. Pour valider, appelle n l'entier du milieu : le précédent est n − 1 et le suivant est n + 1. Alors (n − 1) + n + (n + 1) = n + n + n + (−1 + 1) = 3 × n. Rien ne dépend de la valeur de n, positive ou négative, donc c'est vrai dans tous les cas. La lettre porte tout l'argument en une ligne.
« Moins a » n'est pas toujours négatif
Ana a testé −a avec a = 3, 8 et 20 et a obtenu −3, −8 et −20. Sa conjecture : « −a est toujours un nombre négatif ». Mais la lettre a peut contenir n'importe quel entier, même négatif. Avec a = −4 : −a = −(−4) = 4, qui est positif. Un contre-exemple et la conjecture est fausse. L'erreur raisonnable est de lire le signe moins comme « négatif » ; il signifie l'opposé de a. Pour l'éviter, teste avec des nombres de plusieurs types : positifs, négatifs et aussi 0, car −0 = 0.
Où on le voit : cinq façons de justifier
Quiconque doit convaincre utilise l'une de celles-ci. Contre-exemple : « la soustraction est commutative » échoue, 5 − 3 = 2 mais 3 − 5 = −2. Examen de tous les cas : avec peu de cas, on les vérifie tous (les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12). Exemple générique : un argument qui ne dépend pas du nombre choisi. Cohérence logique : enchaîner des faits déjà connus. Raisonnement par l'absurde : si un pair plus un impair était pair, l'impair serait pair − pair, donc pair : absurde. Chacune convient à sa situation.
Teste ce que tu as appris
Sara a essayé « la somme de deux entiers est un entier » avec 3 + 4 = 7, −5 + 2 = −3 et −7 + (−1) = −8. Qu'a-t-elle fait ?
- a) Elle l'a validée, car trois cas suffisent
- b) Elle l'a réfutée, car deux des sommes sont négatives
- c) Rien encore : les tests ne comptent qu'à partir de dix cas
- d) Elle l'a testée sur trois cas ; pour la valider, elle doit montrer qu'elle vaut pour tous les entiers
Bonne réponse: d) Elle l'a testée sur trois cas ; pour la valider, elle doit montrer qu'elle vaut pour tous les entiers — Exact : des cas peuvent appuyer une conjecture, mais valider, c'est montrer qu'elle vaut pour tous (ou en trouver un où elle échoue).
Conjecture : « n × (n + 1) + 17 est premier pour tout entier naturel n ». Que donne n = 16 et que montre-t-il ?
- a) 289 = 17 × 17, pas premier : un contre-exemple, donc la conjecture est fausse
- b) 289, qui est premier car impair, donc la conjecture tient encore
- c) 289 n'est pas premier, mais la conjecture tient, car elle a marché 15 fois
- d) 273 = 3 × 91, pas premier, donc c'est un contre-exemple
Bonne réponse: a) 289 = 17 × 17, pas premier : un contre-exemple, donc la conjecture est fausse — Exact : 16 × 17 = 272 et 272 + 17 = 289 = 17 × 17. Un seul contre-exemple suffit à la réfuter.
Ana affirme : « −a est toujours un nombre négatif ». Quelle est la meilleure réponse ?
- a) Elle a raison : le signe moins rend toujours un nombre négatif
- b) Cela dépend de a : pour a = 3, −a = −3, mais pour a = −4, −a = 4, un contre-exemple
- c) Elle a raison, car elle a testé a = 3, 8 et 20 et tous ont donné des négatifs
- d) Elle se trompe dans l'autre sens : −a est toujours positif
Bonne réponse: b) Cela dépend de a : pour a = 3, −a = −3, mais pour a = −4, −a = 4, un contre-exemple — Exact : la lettre peut contenir un nombre négatif, et un seul contre-exemple suffit à réfuter l'affirmation.
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