Matemática 7.º ano: Razões entre perímetros e entre áreas de figuras semelhantes
Matemática, 7.º ano (Portugal): O perímetro multiplica por k e a área por k²: descobre porquê e usa-o em plantas, ampliações e problemas.
O perímetro multiplica por k, a área por k²
Se duas figuras são semelhantes com razão de semelhança k, o perímetro da maior é k vezes o da menor e a sua área é k × k = k² vezes a da menor. O quadrado de 3 cm de lado e o de 6 cm são semelhantes com k = 2. Perímetros: 12 cm e 24 cm, o dobro. Áreas: 9 cm² e 36 cm², o quádruplo, porque 2² = 4. A razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os perímetros.
Porque é que a área multiplica por k ao quadrado
O perímetro é uma soma de comprimentos e cada comprimento fica k vezes maior, por isso a soma também. A área conta quadradinhos, e tanto o comprimento como a largura ficam k vezes maiores. Com k = 2, num quadrado grande cabem 2 × 2 = 4 quadrados pequenos; com k = 3, cabem 3 × 3 = 9. Em geral, k × k. Com k menor que 1 funciona da mesma maneira: com k = 1/2, a área fica com 1/2 × 1/2 = 1/4.
Ampliar um triângulo três vezes
Um triângulo tem lados de 5 cm, 12 cm e 13 cm, com um ângulo reto entre os lados de 5 cm e 12 cm. Perímetro: 5 + 12 + 13 = 30 cm. Área: 5 × 12 ÷ 2 = 30 cm². Amplia-se com k = 3: os lados passam a 15, 36 e 39 cm. Perímetro: 15 + 36 + 39 = 90 cm = 3 × 30. Área: 15 × 36 ÷ 2 = 270 cm² = 9 × 30 = 3² × 30. Ao contrário: uma figura semelhante com um quarto da área precisa de k² = 1/4, logo k = 1/2, e o perímetro fica com metade.
A armadilha: dobrar os lados não dobra a área
É natural pensar que, se os lados dobram, a área também dobra. Um quadrado de 5 cm de lado tem 25 cm². Com os lados dobrados, 10 cm de lado, tem 100 cm², e não 50 cm²: a área quadruplicou, porque 2² = 4. Só o perímetro duplica, de 20 cm para 40 cm. Não confundas as duas razões: entre perímetros é k, entre áreas é k². E para o dobro da área a razão de semelhança não é 2.
Onde vês isto fora da escola
Numa planta à escala 1:50, uma sala de 4 m por 6 m desenha-se com 8 cm por 12 cm. No desenho, a área é 8 × 12 = 96 cm²; na realidade, 24 m² = 240 000 cm². A razão entre as áreas é 240 000 ÷ 96 = 2500 = 50², o quadrado da escala. Do mesmo modo, para pintar uma parede com o dobro do comprimento e o dobro da altura é preciso quatro vezes mais tinta.
Testa o que aprendeste
Duas figuras semelhantes têm razão de semelhança 3. Quais são a razão entre os perímetros e a razão entre as áreas?
- a) Perímetros 3, áreas 9
- b) Perímetros 3, áreas 3
- c) Perímetros 9, áreas 9
- d) Perímetros 9, áreas 3
Resposta certa: a) Perímetros 3, áreas 9 — Certo: os perímetros multiplicam-se por k = 3 e as áreas por k² = 3 × 3 = 9.
Um retângulo de 5 cm por 8 cm é ampliado com razão de semelhança 3. Qual é a área do retângulo ampliado?
- a) 120 cm²
- b) 360 cm²
- c) 1080 cm²
Resposta certa: b) 360 cm² — Certo: 40 × 3² = 40 × 9 = 360 cm². Confirmação: os novos lados são 15 e 24, e 15 × 24 = 360.
A Joana dobra os lados de um quadrado de 5 cm de lado e espera o dobro da área, 50 cm². Qual é a área do novo quadrado?
- a) 50 cm²
- b) 40 cm²
- c) 200 cm²
- d) 100 cm²
Resposta certa: d) 100 cm² — Certo: o novo lado é 10 cm e 10 × 10 = 100 cm², que é 25 × 2² = 25 × 4.
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