Matematica classe 7: Rapporti tra perimetri e tra aree di figure simili
Matematica, classe 7 (Portogallo): Il perimetro si moltiplica per k e l'area per k²: scopri perché e usalo con piante, ingrandimenti e problemi.
Il perimetro si moltiplica per k, l'area per k²
Se due figure sono simili con rapporto di similitudine k, il perimetro della maggiore è k volte quello della minore e la sua area è k × k = k² volte quella della minore. Il quadrato di lato 3 cm e quello di lato 6 cm sono simili con k = 2. Perimetri: 12 cm e 24 cm, il doppio. Aree: 9 cm² e 36 cm², il quadruplo, perché 2² = 4. Il rapporto tra le aree è il quadrato del rapporto tra i perimetri.
Perché l'area si moltiplica per k al quadrato
Il perimetro è una somma di lunghezze e ogni lunghezza diventa k volte più grande, quindi anche la somma. L'area conta quadratini, e sia la lunghezza sia la larghezza diventano k volte più grandi. Con k = 2, in un quadrato grande ci stanno 2 × 2 = 4 quadrati piccoli; con k = 3, ce ne stanno 3 × 3 = 9. In generale, k × k. Con k minore di 1 funziona allo stesso modo: con k = 1/2, l'area diventa 1/2 × 1/2 = 1/4.
Ingrandire un triangolo tre volte
Un triangolo ha lati di 5 cm, 12 cm e 13 cm, con un angolo retto tra i lati di 5 cm e 12 cm. Perimetro: 5 + 12 + 13 = 30 cm. Area: 5 × 12 ÷ 2 = 30 cm². Si ingrandisce con k = 3: i lati diventano 15, 36 e 39 cm. Perimetro: 15 + 36 + 39 = 90 cm = 3 × 30. Area: 15 × 36 ÷ 2 = 270 cm² = 9 × 30 = 3² × 30. Al contrario: una figura simile con un quarto dell'area richiede k² = 1/4, quindi k = 1/2, e il suo perimetro è la metà.
La trappola: raddoppiare i lati non raddoppia l'area
È naturale pensare che, se i lati raddoppiano, anche l'area raddoppi. Un quadrato di lato 5 cm ha area 25 cm². Con i lati raddoppiati, lato 10 cm, l'area è 100 cm², non 50 cm²: è quadruplicata, perché 2² = 4. Raddoppia solo il perimetro, da 20 cm a 40 cm. Non confondere i due rapporti: tra perimetri è k, tra aree è k². E per raddoppiare l'area il rapporto di similitudine non è 2.
Dove lo vedi fuori dalla scuola
In una pianta in scala 1:50, una stanza di 4 m per 6 m si disegna con 8 cm per 12 cm. Nel disegno l'area è 8 × 12 = 96 cm²; nella realtà, 24 m² = 240 000 cm². Il rapporto tra le aree è 240 000 ÷ 96 = 2500 = 50², il quadrato della scala. Allo stesso modo, per dipingere una parete con lunghezza doppia e altezza doppia serve il quadruplo di vernice.
Metti alla prova quello che hai imparato
Due figure simili hanno rapporto di similitudine 3. Quali sono il rapporto tra i perimetri e il rapporto tra le aree?
- a) Perimetri 3, aree 9
- b) Perimetri 3, aree 3
- c) Perimetri 9, aree 9
- d) Perimetri 9, aree 3
Risposta corretta: a) Perimetri 3, aree 9 — Giusto: i perimetri si moltiplicano per k = 3 e le aree per k² = 3 × 3 = 9.
Un rettangolo di 5 cm per 8 cm viene ingrandito con rapporto di similitudine 3. Qual è l'area del rettangolo ingrandito?
- a) 120 cm²
- b) 360 cm²
- c) 1080 cm²
Risposta corretta: b) 360 cm² — Giusto: 40 × 3² = 40 × 9 = 360 cm². Verifica: i nuovi lati sono 15 e 24, e 15 × 24 = 360.
Joana raddoppia i lati di un quadrato di lato 5 cm e si aspetta il doppio dell'area, 50 cm². Qual è l'area del nuovo quadrato?
- a) 50 cm²
- b) 40 cm²
- c) 200 cm²
- d) 100 cm²
Risposta corretta: d) 100 cm² — Giusto: il nuovo lato è 10 cm e 10 × 10 = 100 cm², cioè 25 × 2² = 25 × 4.
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