Mathematik Klasse 7: Verhältnis von Umfang und Flächeninhalt ähnlicher Figuren
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Der Umfang wird mit k multipliziert, der Flächeninhalt mit k²: Finde heraus, warum, und nutze es bei Plänen, Vergrößerungen und Aufgaben.
Der Umfang wächst mit k, der Flächeninhalt mit k²
Sind zwei Figuren mit dem Ähnlichkeitsfaktor k ähnlich, ist der Umfang der größeren k-mal so groß wie der der kleineren, und ihr Flächeninhalt ist k × k = k² -mal so groß. Das Quadrat mit 3 cm Seitenlänge und das mit 6 cm sind ähnlich mit k = 2. Umfänge: 12 cm und 24 cm, das Doppelte. Flächeninhalte: 9 cm² und 36 cm², das Vierfache, denn 2² = 4. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist das Quadrat des Verhältnisses der Umfänge.
Warum der Flächeninhalt mit k zum Quadrat wächst
Ein Umfang ist eine Summe von Längen, und jede Länge wird k-mal so groß, also auch die Summe. Der Flächeninhalt zählt kleine Quadrate, und sowohl Länge als auch Breite werden k-mal so groß. Bei k = 2 passen in ein großes Quadrat 2 × 2 = 4 kleine, bei k = 3 sind es 3 × 3 = 9. Allgemein k × k. Bei k kleiner als 1 klappt es genauso: Bei k = 1/2 wird der Flächeninhalt zu 1/2 × 1/2 = 1/4.
Ein Dreieck dreifach vergrößern
Ein Dreieck hat die Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm, mit einem rechten Winkel zwischen den Seiten 5 cm und 12 cm. Umfang: 5 + 12 + 13 = 30 cm. Flächeninhalt: 5 × 12 ÷ 2 = 30 cm². Vergrößert man es mit k = 3, werden die Seiten 15, 36 und 39 cm. Umfang: 15 + 36 + 39 = 90 cm = 3 × 30. Flächeninhalt: 15 × 36 ÷ 2 = 270 cm² = 9 × 30 = 3² × 30. Umgekehrt: Eine ähnliche Figur mit einem Viertel des Flächeninhalts braucht k² = 1/4, also k = 1/2, und ihr Umfang ist halb so groß.
Die Falle: Doppelte Seiten ergeben nicht die doppelte Fläche
Man denkt leicht, dass sich mit den Seiten auch der Flächeninhalt verdoppelt. Ein Quadrat mit 5 cm Seitenlänge hat 25 cm². Mit verdoppelten Seiten, also 10 cm, sind es 100 cm², nicht 50 cm²: Der Flächeninhalt hat sich vervierfacht, denn 2² = 4. Nur der Umfang verdoppelt sich, von 20 cm auf 40 cm. Verwechsle die beiden Verhältnisse nicht: Bei Umfängen ist es k, bei Flächeninhalten k². Und für den doppelten Flächeninhalt ist der Faktor nicht 2.
Wo du das außerhalb der Schule siehst
Auf einem Plan im Maßstab 1:50 wird ein Zimmer von 4 m mal 6 m mit 8 cm mal 12 cm gezeichnet. In der Zeichnung beträgt der Flächeninhalt 8 × 12 = 96 cm², in Wirklichkeit 24 m² = 240 000 cm². Das Verhältnis der Flächeninhalte ist 240 000 ÷ 96 = 2500 = 50², das Quadrat des Maßstabs. Ebenso braucht man für eine Wand mit doppelter Länge und doppelter Höhe viermal so viel Farbe.
Teste, was du gelernt hast
Zwei ähnliche Figuren haben den Ähnlichkeitsfaktor 3. Wie groß sind das Verhältnis der Umfänge und das der Flächeninhalte?
- a) Umfänge 3, Flächeninhalte 9
- b) Umfänge 3, Flächeninhalte 3
- c) Umfänge 9, Flächeninhalte 9
- d) Umfänge 9, Flächeninhalte 3
Richtige Antwort: a) Umfänge 3, Flächeninhalte 9 — Richtig: Umfänge werden mit k = 3 multipliziert, Flächeninhalte mit k² = 3 × 3 = 9.
Ein Rechteck von 5 cm mal 8 cm wird mit dem Ähnlichkeitsfaktor 3 vergrößert. Wie groß ist der Flächeninhalt des vergrößerten Rechtecks?
- a) 120 cm²
- b) 360 cm²
- c) 1080 cm²
Richtige Antwort: b) 360 cm² — Richtig: 40 × 3² = 40 × 9 = 360 cm². Probe: Die neuen Seiten sind 15 und 24, und 15 × 24 = 360.
Joana verdoppelt die Seiten eines Quadrats mit 5 cm Seitenlänge und erwartet den doppelten Flächeninhalt, 50 cm². Wie groß ist der Flächeninhalt des neuen Quadrats?
- a) 50 cm²
- b) 40 cm²
- c) 200 cm²
- d) 100 cm²
Richtige Antwort: d) 100 cm² — Richtig: Die neue Seite ist 10 cm lang, und 10 × 10 = 100 cm², also 25 × 2² = 25 × 4.
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