Matemáticas 7.º curso: Razones entre perímetros y entre áreas de figuras semejantes
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): El perímetro se multiplica por k y el área por k²: descubre por qué y úsalo en planos, ampliaciones y problemas.
El perímetro se multiplica por k, el área por k²
Si dos figuras son semejantes con razón de semejanza k, el perímetro de la mayor es k veces el de la menor y su área es k × k = k² veces la de la menor. El cuadrado de 3 cm de lado y el de 6 cm son semejantes con k = 2. Perímetros: 12 cm y 24 cm, el doble. Áreas: 9 cm² y 36 cm², el cuádruple, porque 2² = 4. La razón entre las áreas es el cuadrado de la razón entre los perímetros.
Por qué el área se multiplica por k al cuadrado
El perímetro es una suma de longitudes y cada longitud se hace k veces mayor, así que la suma también. El área cuenta cuadraditos, y tanto el largo como el ancho se hacen k veces mayores. Con k = 2, en un cuadrado grande caben 2 × 2 = 4 cuadrados pequeños; con k = 3, caben 3 × 3 = 9. En general, k × k. Con k menor que 1 funciona igual: con k = 1/2, el área queda en 1/2 × 1/2 = 1/4.
Ampliar un triángulo tres veces
Un triángulo tiene lados de 5 cm, 12 cm y 13 cm, con un ángulo recto entre los lados de 5 cm y 12 cm. Perímetro: 5 + 12 + 13 = 30 cm. Área: 5 × 12 ÷ 2 = 30 cm². Se amplía con k = 3: los lados pasan a 15, 36 y 39 cm. Perímetro: 15 + 36 + 39 = 90 cm = 3 × 30. Área: 15 × 36 ÷ 2 = 270 cm² = 9 × 30 = 3² × 30. Al revés: una figura semejante con un cuarto del área necesita k² = 1/4, luego k = 1/2, y su perímetro queda en la mitad.
La trampa: doblar los lados no dobla el área
Es natural pensar que, si los lados se doblan, el área también se dobla. Un cuadrado de 5 cm de lado tiene 25 cm². Con los lados doblados, 10 cm de lado, tiene 100 cm², y no 50 cm²: el área se cuadruplicó, porque 2² = 4. Solo el perímetro se duplica, de 20 cm a 40 cm. No confundas las dos razones: entre perímetros es k, entre áreas es k². Y para el doble del área la razón de semejanza no es 2.
Dónde lo ves fuera de la escuela
En un plano a escala 1:50, una sala de 4 m por 6 m se dibuja con 8 cm por 12 cm. En el dibujo el área es 8 × 12 = 96 cm²; en la realidad, 24 m² = 240 000 cm². La razón entre las áreas es 240 000 ÷ 96 = 2500 = 50², el cuadrado de la escala. Del mismo modo, pintar una pared con el doble de largo y el doble de alto lleva cuatro veces más pintura.
Pon a prueba lo que has aprendido
Dos figuras semejantes tienen razón de semejanza 3. ¿Cuáles son la razón entre los perímetros y la razón entre las áreas?
- a) Perímetros 3, áreas 9
- b) Perímetros 3, áreas 3
- c) Perímetros 9, áreas 9
- d) Perímetros 9, áreas 3
Respuesta correcta: a) Perímetros 3, áreas 9 — Correcto: los perímetros se multiplican por k = 3 y las áreas por k² = 3 × 3 = 9.
Un rectángulo de 5 cm por 8 cm se amplía con razón de semejanza 3. ¿Cuál es el área del rectángulo ampliado?
- a) 120 cm²
- b) 360 cm²
- c) 1080 cm²
Respuesta correcta: b) 360 cm² — Correcto: 40 × 3² = 40 × 9 = 360 cm². Comprobación: los nuevos lados son 15 y 24, y 15 × 24 = 360.
Joana dobla los lados de un cuadrado de 5 cm de lado y espera el doble del área, 50 cm². ¿Cuál es el área del nuevo cuadrado?
- a) 50 cm²
- b) 40 cm²
- c) 200 cm²
- d) 100 cm²
Respuesta correcta: d) 100 cm² — Correcto: el nuevo lado es 10 cm y 10 × 10 = 100 cm², que es 25 × 2² = 25 × 4.
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