Mathématiques 7e année : Rapports des périmètres et des aires de figures semblables
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Le périmètre est multiplié par k et l'aire par k² : découvre pourquoi et sers-t'en pour des plans, des agrandissements et des problèmes.
Le périmètre est multiplié par k, l'aire par k²
Si deux figures sont semblables, de rapport de similitude k, le périmètre de la plus grande est k fois celui de la plus petite, et son aire est k × k = k² fois celle de la plus petite. Le carré de 3 cm de côté et celui de 6 cm sont semblables avec k = 2. Périmètres : 12 cm et 24 cm, le double. Aires : 9 cm² et 36 cm², le quadruple, car 2² = 4. Le rapport des aires est le carré du rapport des périmètres.
Pourquoi l'aire est multipliée par k au carré
Un périmètre est une somme de longueurs et chaque longueur devient k fois plus grande, donc la somme aussi. Une aire compte des petits carrés, et la longueur comme la largeur deviennent k fois plus grandes. Avec k = 2, un grand carré contient 2 × 2 = 4 petits carrés ; avec k = 3, il en contient 3 × 3 = 9. En général, k × k. Avec k inférieur à 1, c'est pareil : avec k = 1/2, l'aire devient 1/2 × 1/2 = 1/4.
Agrandir un triangle trois fois
Un triangle a des côtés de 5 cm, 12 cm et 13 cm, avec un angle droit entre les côtés de 5 cm et 12 cm. Périmètre : 5 + 12 + 13 = 30 cm. Aire : 5 × 12 ÷ 2 = 30 cm². On l'agrandit avec k = 3 : les côtés deviennent 15, 36 et 39 cm. Périmètre : 15 + 36 + 39 = 90 cm = 3 × 30. Aire : 15 × 36 ÷ 2 = 270 cm² = 9 × 30 = 3² × 30. Dans l'autre sens : une figure semblable de quart d'aire demande k² = 1/4, donc k = 1/2, et son périmètre est la moitié.
Le piège : doubler les côtés ne double pas l'aire
Il semble naturel que si les côtés doublent, l'aire double aussi. Un carré de 5 cm de côté a une aire de 25 cm². Avec les côtés doublés, soit 10 cm, l'aire est 100 cm² et non 50 cm² : elle a quadruplé, car 2² = 4. Seul le périmètre double, de 20 cm à 40 cm. Ne mélange pas les deux rapports : pour les périmètres c'est k, pour les aires c'est k². Et pour doubler l'aire, le rapport de similitude n'est pas 2.
Où tu vois ça hors de l'école
Sur un plan à l'échelle 1:50, une pièce de 4 m sur 6 m se dessine avec 8 cm sur 12 cm. Sur le dessin, l'aire est 8 × 12 = 96 cm² ; en réalité, 24 m² = 240 000 cm². Le rapport des aires est 240 000 ÷ 96 = 2500 = 50², le carré de l'échelle. De même, peindre un mur de longueur double et de hauteur double demande quatre fois plus de peinture.
Teste ce que tu as appris
Deux figures semblables ont un rapport de similitude de 3. Quels sont le rapport des périmètres et le rapport des aires ?
- a) Périmètres 3, aires 9
- b) Périmètres 3, aires 3
- c) Périmètres 9, aires 9
- d) Périmètres 9, aires 3
Bonne réponse: a) Périmètres 3, aires 9 — Exact : les périmètres sont multipliés par k = 3 et les aires par k² = 3 × 3 = 9.
Un rectangle de 5 cm sur 8 cm est agrandi avec un rapport de similitude de 3. Quelle est l'aire du rectangle agrandi ?
- a) 120 cm²
- b) 360 cm²
- c) 1080 cm²
Bonne réponse: b) 360 cm² — Exact : 40 × 3² = 40 × 9 = 360 cm². Vérification : les nouveaux côtés sont 15 et 24, et 15 × 24 = 360.
Joana double les côtés d'un carré de 5 cm de côté et s'attend à une aire double, 50 cm². Quelle est l'aire du nouveau carré ?
- a) 50 cm²
- b) 40 cm²
- c) 200 cm²
- d) 100 cm²
Bonne réponse: d) 100 cm² — Exact : le nouveau côté est 10 cm et 10 × 10 = 100 cm², soit 25 × 2² = 25 × 4.
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