Múltiplos e divisores de um número natural — Matemática, 11–13
Divisores e múltiplos e como se relacionam: resto zero, divisores em número finito, múltiplos sem fim.
Divisores e múltiplos: quando a divisão dá resto zero
Divide 20 por 4: dá 5 e o resto é 0. Quando o resto da divisão inteira do maior pelo menor é zero, dizemos que 4 é divisor de 20 e que 20 é múltiplo de 4. Os múltiplos de 4 são os números da tabuada do 4: 4, 8, 12, 16, 20… Todo o número diferente de zero é múltiplo e divisor de si próprio (20 = 20 × 1), e o 1 é divisor de qualquer número natural.
Porque é que um múltiplo de um múltiplo também é múltiplo
Pinta numa tabela de números os múltiplos de 3 e, com outra cor, os de 9. Todos os de 9 ficam pintados das duas cores. Porquê? Porque 9 = 3 × 3, logo 18 = 9 × 2 = 3 × 3 × 2 = 3 × 6. Com os divisores é igual: 3 divide 12 e 12 divide 60, logo 3 divide 60, porque 60 = 12 × 5 = 3 × 4 × 5 = 3 × 20. Não é sorte de um exemplo: encadear os fatores funciona sempre.
Os divisores de 20, em pares
Testa 1, 2, 3… e vê onde o resto é zero. 20 ÷ 1 = 20; 20 ÷ 2 = 10; 20 ÷ 3 = 6 resto 2 (não); 20 ÷ 4 = 5; 20 ÷ 5 = 4 (o 4 já apareceu, por isso podemos parar). Cada divisor traz um par: 1 e 20, 2 e 10, 4 e 5. O conjunto dos divisores de 20 é {1, 2, 4, 5, 10, 20}: 4 ∈ conjunto, 3 ∉. São seis e não há mais. Os múltiplos de 20 — 20, 40, 60, 80… — nunca acabam.
A armadilha: trocar divisor por múltiplo
Erro frequente: dizer que 5 é múltiplo de 20 porque «andam juntos». Não é: 20 é múltiplo de 5 (20 = 5 × 4) e 5 é divisor de 20. Regra de bolso: um divisor de um número nunca é maior do que ele; um múltiplo diferente de zero nunca é menor. Por isso um número tem poucos divisores (o 20 tem seis) mas uma infinidade de múltiplos. E não te esqueças de pôr o 1 e o próprio número na lista dos divisores.
Onde vês isto fora da escola
Quando repartes 12 bolachas por amigos sem sobrar nenhuma, procuras os divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 ou 12 amigos. Arrumar 24 cadeiras em filas iguais é o mesmo. Os múltiplos aparecem em tudo o que se repete: se um autocarro passa de 15 em 15 minutos, passa aos 15, 30, 45, 60… minutos, os múltiplos de 15. Sempre que algo se repete a intervalos iguais, estás a contar múltiplos.
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