Múltiplos y divisores de un número natural — Matemáticas, 11–13
Divisores y múltiplos y cómo se relacionan: resto cero, divisores en número finito, múltiplos sin fin.
Divisores y múltiplos: cuando la división deja resto cero
Divide 20 entre 4: sale 5 y el resto es 0. Cuando el resto de la división entera del mayor entre el menor es cero, decimos que 4 es divisor de 20 y que 20 es múltiplo de 4. Los múltiplos de 4 son los números de la tabla del 4: 4, 8, 12, 16, 20… Todo número distinto de cero es múltiplo y divisor de sí mismo (20 = 20 × 1), y el 1 es divisor de todo número natural.
Por qué un múltiplo de un múltiplo sigue siendo múltiplo
Pinta en una tabla de números los múltiplos de 3 y, con otro color, los de 9. Todos los de 9 quedan pintados de los dos colores. ¿Por qué? Porque 9 = 3 × 3, así que 18 = 9 × 2 = 3 × 3 × 2 = 3 × 6. Con los divisores pasa igual: 3 divide a 12 y 12 divide a 60, luego 3 divide a 60, porque 60 = 12 × 5 = 3 × 4 × 5 = 3 × 20. No es suerte de un ejemplo: encadenar los factores siempre funciona.
Los divisores de 20, en parejas
Prueba 1, 2, 3… y mira dónde el resto es cero. 20 ÷ 1 = 20; 20 ÷ 2 = 10; 20 ÷ 3 = 6 resto 2 (no); 20 ÷ 4 = 5; 20 ÷ 5 = 4 (el 4 ya ha salido, así que podemos parar). Cada divisor trae una pareja: 1 y 20, 2 y 10, 4 y 5. El conjunto de los divisores de 20 es {1, 2, 4, 5, 10, 20}: 4 ∈ conjunto, 3 ∉. Son seis y no hay más. Los múltiplos de 20 — 20, 40, 60, 80… — nunca se acaban.
La trampa: confundir divisor y múltiplo
Un error frecuente: decir que 5 es múltiplo de 20 porque «van juntos». No lo es: 20 es múltiplo de 5 (20 = 5 × 4) y 5 es divisor de 20. Regla práctica: un divisor de un número nunca es mayor que él; un múltiplo distinto de cero nunca es menor. Por eso un número tiene pocos divisores (el 20 tiene seis) pero infinitos múltiplos. Y no olvides poner el 1 y el propio número en la lista de divisores.
Dónde lo ves fuera de la escuela
Cuando repartes 12 galletas entre amigos sin que sobre ninguna, buscas los divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 o 12 amigos. Colocar 24 sillas en filas iguales es lo mismo. Los múltiplos aparecen en todo lo que se repite: si un autobús pasa cada 15 minutos, pasa a los 15, 30, 45, 60… minutos, los múltiplos de 15. Siempre que algo se repite a intervalos iguales, estás contando múltiplos.
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