Vielfache und Teiler einer natürlichen Zahl — Mathematik, 11–13
Teiler und Vielfache und wie sie zusammenhängen: Rest null, endlich viele Teiler, unendlich viele Vielfache.
Teiler und Vielfache: wenn die Division ohne Rest aufgeht
Teile 20 durch 4: Das ergibt 5, der Rest ist 0. Wenn bei der Division der größeren durch die kleinere Zahl der Rest null ist, sagen wir: 4 ist ein Teiler von 20 und 20 ist ein Vielfaches von 4. Die Vielfachen von 4 sind die Zahlen der 4er-Reihe: 4, 8, 12, 16, 20 … Jede Zahl außer null ist Vielfaches und Teiler von sich selbst (20 = 20 · 1), und 1 ist Teiler jeder natürlichen Zahl.
Warum ein Vielfaches eines Vielfachen wieder ein Vielfaches ist
Markiere in einer Zahlentabelle die Vielfachen von 3 und in einer zweiten Farbe die von 9. Jedes Vielfache von 9 hat beide Farben. Warum? Weil 9 = 3 · 3 ist, also 18 = 9 · 2 = 3 · 3 · 2 = 3 · 6. Bei Teilern ist es genauso: 3 teilt 12 und 12 teilt 60, also teilt 3 auch 60, denn 60 = 12 · 5 = 3 · 4 · 5 = 3 · 20. Das ist kein Glück bei einem Beispiel: Die Faktoren zu verketten klappt immer.
Die Teiler von 20, paarweise
Probiere 1, 2, 3 … und sieh nach, wo der Rest null ist. 20 : 1 = 20; 20 : 2 = 10; 20 : 3 = 6 Rest 2 (nein); 20 : 4 = 5; 20 : 5 = 4 (die 4 hatten wir schon, also können wir aufhören). Jeder Teiler bringt einen Partner mit: 1 und 20, 2 und 10, 4 und 5. Die Menge der Teiler von 20 ist {1, 2, 4, 5, 10, 20}: 4 ∈ Menge, 3 ∉. Es sind sechs, mehr gibt es nicht. Die Vielfachen von 20 – 20, 40, 60, 80 … – hören nie auf.
Die Falle: Teiler und Vielfaches verwechseln
Ein häufiger Ausrutscher: zu sagen, 5 sei ein Vielfaches von 20, weil die beiden „zusammengehören“. Stimmt nicht: 20 ist ein Vielfaches von 5 (20 = 5 · 4), und 5 ist ein Teiler von 20. Faustregel: Ein Teiler einer Zahl ist nie größer als sie; ein Vielfaches (außer 0) ist nie kleiner. Deshalb hat eine Zahl wenige Teiler (20 hat sechs), aber unendlich viele Vielfache. Und vergiss nicht, die 1 und die Zahl selbst bei den Teilern aufzuführen.
Wo du das außerhalb der Schule siehst
Wenn du 12 Kekse so an Freunde verteilst, dass keiner übrig bleibt, suchst du die Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6 oder 12 Freunde. 24 Stühle in gleich langen Reihen aufzustellen ist dasselbe. Vielfache tauchen bei allem auf, was sich wiederholt: Wenn ein Bus alle 15 Minuten fährt, kommt er nach 15, 30, 45, 60 … Minuten, den Vielfachen von 15. Immer wenn sich etwas in gleichen Schritten wiederholt, zählst du Vielfache.
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