Multiples et diviseurs d'un nombre entier naturel — 11–13
Diviseurs et multiples et leurs liens : reste nul, diviseurs en nombre fini, multiples sans fin.
Diviseurs et multiples : quand la division tombe juste
Divise 20 par 4 : tu obtiens 5 et le reste est 0. Quand le reste de la division euclidienne du plus grand par le plus petit est zéro, on dit que 4 est un diviseur de 20 et que 20 est un multiple de 4. Les multiples de 4 sont les nombres de la table de 4 : 4, 8, 12, 16, 20… Tout nombre non nul est multiple et diviseur de lui-même (20 = 20 × 1), et 1 est un diviseur de tout entier naturel.
Pourquoi un multiple d'un multiple est encore un multiple
Colorie dans un tableau de nombres les multiples de 3, puis ceux de 9 avec une autre couleur. Tous les multiples de 9 ont les deux couleurs. Pourquoi ? Parce que 9 = 3 × 3, donc 18 = 9 × 2 = 3 × 3 × 2 = 3 × 6. C'est pareil pour les diviseurs : 3 divise 12 et 12 divise 60, donc 3 divise 60, car 60 = 12 × 5 = 3 × 4 × 5 = 3 × 20. Ce n'est pas la chance d'un exemple : enchaîner les facteurs marche toujours.
Les diviseurs de 20, par paires
Teste 1, 2, 3… et regarde où le reste est zéro. 20 ÷ 1 = 20 ; 20 ÷ 2 = 10 ; 20 ÷ 3 = 6 reste 2 (non) ; 20 ÷ 4 = 5 ; 20 ÷ 5 = 4 (le 4 est déjà sorti, on peut s'arrêter). Chaque diviseur amène un partenaire : 1 et 20, 2 et 10, 4 et 5. L'ensemble des diviseurs de 20 est {1, 2, 4, 5, 10, 20} : 4 ∈ l'ensemble, 3 ∉. Il y en a six, pas un de plus. Les multiples de 20 — 20, 40, 60, 80… — ne s'arrêtent jamais.
Le piège : confondre diviseur et multiple
Une erreur fréquente : dire que 5 est un multiple de 20 parce qu'ils « vont ensemble ». Faux : 20 est un multiple de 5 (20 = 5 × 4) et 5 est un diviseur de 20. Règle pratique : un diviseur d'un nombre n'est jamais plus grand que lui ; un multiple non nul n'est jamais plus petit. C'est pourquoi un nombre a peu de diviseurs (20 en a six) mais une infinité de multiples. Et n'oublie pas 1 et le nombre lui-même dans la liste des diviseurs.
Où tu le vois en dehors de l'école
Quand tu partages 12 biscuits entre des amis sans qu'il en reste, tu cherches les diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6 ou 12 amis. Ranger 24 chaises en rangées égales, c'est pareil. Les multiples apparaissent dans tout ce qui se répète : si un bus passe toutes les 15 minutes, il passe à 15, 30, 45, 60… minutes, les multiples de 15. Dès que quelque chose se répète à intervalles égaux, tu comptes des multiples.
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