Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum — Matemática, 11–13
Calcula o m.m.c. e o m.d.c. de dois números com listas ou com fatores primos, escolhe o método mais rápido e usa-os para resolver problemas.
O menor múltiplo e o maior divisor que dois números partilham
O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois números é o menor múltiplo que eles têm em comum; o máximo divisor comum (m.d.c.) é o maior divisor que eles têm em comum. Toma o 8 e o 12. Múltiplos de 8: {8, 16, 24, 32, …}; de 12: {12, 24, 36, …}. O primeiro comum é 24, logo m.m.c.(8, 12) = 24. Divisores de 8: {1, 2, 4, 8}; de 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Comuns: {1, 2, 4}, o maior é 4, logo m.d.c.(8, 12) = 4. Para o m.m.c. podes parar a lista no produto 8 × 12 = 96, que já é um múltiplo comum.
Porque é que os fatores primos dão a resposta sem listas
Decompõe: 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3². Um múltiplo comum tem de conter os fatores dos dois números, por isso o m.m.c. leva todos os primos, cada um com o maior expoente: 2² × 3² = 36. Um divisor comum só pode conter o que os dois números têm, por isso o m.d.c. leva só os primos comuns, com o menor expoente: 2 × 3 = 6. Confirma: 36 ÷ 12 = 3 e 36 ÷ 18 = 2; 12 ÷ 6 = 2 e 18 ÷ 6 = 3.
84 e 90: escolher o método e depois calcular
Com listas, o m.m.c. de 84 e 90 podia levar-te até 84 × 90 = 7560: nada prático (com 8 e 12, as listas são mais rápidas). Por isso decompõe: 84 = 2² × 3 × 7 e 90 = 2 × 3² × 5. m.m.c.: todos os primos, maiores expoentes: 2² × 3² × 5 × 7 = 4 × 9 × 5 × 7 = 1260. m.d.c.: primos comuns (2 e 3), menores expoentes: 2 × 3 = 6. Confirma: 1260 ÷ 84 = 15 e 1260 ÷ 90 = 14; 84 ÷ 6 = 14 e 90 ÷ 6 = 15.
A armadilha: multiplicar sempre os dois números
Deslize razoável: tomar o produto como m.m.c. O produto é um múltiplo comum, mas nem sempre o menor. Por isso olha para os números antes de calcular. Se um é múltiplo do outro, o m.m.c. é o maior e o m.d.c. é o menor: m.m.c.(30, 6) = 30 e m.d.c.(30, 6) = 6, e não 180. Se um é primo, ou divide o outro e é o m.d.c. (m.d.c.(7, 21) = 7, m.m.c. = 21), ou não divide, e então m.d.c.(15, 7) = 1 e m.m.c. = 15 × 7 = 105.
Onde vês isto fora da escola: voltar a encontrar-se e cortar em partes iguais
Duas luzes de sinalização piscam, uma de 12 em 12 segundos e outra de 18 em 18. Piscam juntas de 36 em 36 segundos: m.m.c.(12, 18). Uma folha retangular de 360 mm por 150 mm quer-se cortar em quadrados iguais, o maior possível, sem desperdício: o lado é m.d.c.(360, 150) = 30 mm, e saem 12 × 5 = 60 quadrados. O m.m.c. aparece quando algo se repete e queres o próximo encontro; o m.d.c. quando repartes ou cortas em partes iguais, as maiores possíveis.
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