Minimo comune multiplo e massimo comun divisore — Matematica, 11–13
Calcola mcm e MCD di due numeri con gli elenchi o con i fattori primi, scegli il metodo più rapido e usali per risolvere problemi.
Il più piccolo multiplo e il più grande divisore in comune
Il minimo comune multiplo (mcm) di due numeri è il più piccolo multiplo che hanno in comune; il massimo comun divisore (MCD) è il più grande divisore che hanno in comune. Prendi 8 e 12. Multipli di 8: {8, 16, 24, 32, …}; di 12: {12, 24, 36, …}. Il primo comune è 24, quindi mcm(8, 12) = 24. Divisori di 8: {1, 2, 4, 8}; di 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Comuni: {1, 2, 4}, il più grande è 4, quindi MCD(8, 12) = 4. Per il mcm puoi fermare l'elenco al prodotto 8 × 12 = 96, che è già un multiplo comune.
Perché i fattori primi danno la risposta senza elenchi
Scomponi: 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3². Un multiplo comune deve contenere i fattori di entrambi i numeri, quindi il mcm prende tutti i primi, ciascuno con l'esponente maggiore: 2² × 3² = 36. Un divisore comune può contenere solo ciò che hanno entrambi, quindi il MCD prende solo i primi comuni, con l'esponente minore: 2 × 3 = 6. Verifica: 36 ÷ 12 = 3 e 36 ÷ 18 = 2; 12 ÷ 6 = 2 e 18 ÷ 6 = 3.
84 e 90: scegliere il metodo e poi calcolare
Con gli elenchi, il mcm di 84 e 90 potrebbe portarti fino a 84 × 90 = 7560: poco pratico (con 8 e 12, gli elenchi sono più rapidi). Quindi scomponi: 84 = 2² × 3 × 7 e 90 = 2 × 3² × 5. mcm: tutti i primi, esponenti maggiori: 2² × 3² × 5 × 7 = 4 × 9 × 5 × 7 = 1260. MCD: primi comuni (2 e 3), esponenti minori: 2 × 3 = 6. Verifica: 1260 ÷ 84 = 15 e 1260 ÷ 90 = 14; 84 ÷ 6 = 14 e 90 ÷ 6 = 15.
La trappola: moltiplicare sempre i due numeri
Un errore ragionevole: prendere il prodotto come mcm. Il prodotto è un multiplo comune, ma non sempre il più piccolo. Guarda quindi i numeri prima di calcolare. Se uno è multiplo dell'altro, il mcm è il maggiore e il MCD è il minore: mcm(30, 6) = 30 e MCD(30, 6) = 6, non 180. Se uno è primo, o divide l'altro ed è il MCD (MCD(7, 21) = 7, mcm = 21), oppure no, e allora MCD(15, 7) = 1 e mcm = 15 × 7 = 105.
Dove lo vedi fuori dalla scuola: ritrovarsi e tagliare in parti uguali
Due luci di segnalazione lampeggiano, una ogni 12 secondi e l'altra ogni 18. Lampeggiano insieme ogni 36 secondi: mcm(12, 18). Un foglio rettangolare di 360 mm per 150 mm va tagliato in quadrati uguali, i più grandi possibile, senza sprechi: il lato è MCD(360, 150) = 30 mm, e si ottengono 12 × 5 = 60 quadrati. Il mcm compare quando qualcosa si ripete e vuoi il prossimo incontro; il MCD quando dividi o tagli in parti uguali le più grandi possibile.
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