Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer… — 11–13
Berechne kgV und ggT zweier Zahlen mit Listen oder Primfaktoren, wähle die schnellste Methode und löse damit Aufgaben.
Das kleinste gemeinsame Vielfache und der größte gemeinsame Teiler
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist das kleinste Vielfache, das beide haben; der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist der größte Teiler, den beide haben. Nimm 8 und 12. Vielfache von 8: {8, 16, 24, 32, …}; von 12: {12, 24, 36, …}. Das erste gemeinsame ist 24, also kgV(8, 12) = 24. Teiler von 8: {1, 2, 4, 8}; von 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Gemeinsame: {1, 2, 4}, der größte ist 4, also ggT(8, 12) = 4. Beim kgV kannst du die Liste beim Produkt 8 · 12 = 96 abbrechen, das ist schon ein gemeinsames Vielfaches.
Warum Primfaktoren die Antwort ohne Listen liefern
Zerlege: 12 = 2² · 3 und 18 = 2 · 3². Ein gemeinsames Vielfaches muss die Faktoren beider Zahlen enthalten, darum nimmt das kgV alle Primzahlen mit dem größeren Exponenten: 2² · 3² = 36. Ein gemeinsamer Teiler kann nur enthalten, was beide Zahlen haben, darum nimmt der ggT nur die gemeinsamen Primzahlen mit dem kleineren Exponenten: 2 · 3 = 6. Probe: 36 : 12 = 3 und 36 : 18 = 2; 12 : 6 = 2 und 18 : 6 = 3.
84 und 90: die Methode wählen, dann rechnen
Mit Listen könnte dich das kgV von 84 und 90 bis 84 · 90 = 7560 führen: unpraktisch (bei 8 und 12 gehen Listen schneller). Also zerlege: 84 = 2² · 3 · 7 und 90 = 2 · 3² · 5. kgV: alle Primzahlen, größere Exponenten: 2² · 3² · 5 · 7 = 4 · 9 · 5 · 7 = 1260. ggT: gemeinsame Primzahlen (2 und 3), kleinere Exponenten: 2 · 3 = 6. Probe: 1260 : 84 = 15 und 1260 : 90 = 14; 84 : 6 = 14 und 90 : 6 = 15.
Die Falle: die beiden Zahlen immer malnehmen
Ein nachvollziehbarer Fehler: das Produkt als kgV zu nehmen. Das Produkt ist ein gemeinsames Vielfaches, aber nicht immer das kleinste. Schau dir die Zahlen also an, bevor du rechnest. Ist eine ein Vielfaches der anderen, ist das kgV die größere und der ggT die kleinere: kgV(30, 6) = 30 und ggT(30, 6) = 6, nicht 180. Ist eine prim, teilt sie entweder die andere und ist der ggT (ggT(7, 21) = 7, kgV = 21), oder nicht, und dann ist ggT(15, 7) = 1 und kgV = 15 · 7 = 105.
Wo du das außerhalb der Schule siehst: wieder zusammentreffen und gleich zerschneiden
Zwei Signallichter blinken, eines alle 12 Sekunden, das andere alle 18. Gemeinsam blinken sie alle 36 Sekunden: kgV(12, 18). Ein rechteckiges Blatt von 360 mm mal 150 mm soll ohne Verschnitt in gleiche, möglichst große Quadrate geschnitten werden: Die Seite ist ggT(360, 150) = 30 mm, und es ergeben sich 12 · 5 = 60 Quadrate. Das kgV taucht auf, wenn sich etwas wiederholt und du das nächste Zusammentreffen suchst; der ggT, wenn du in möglichst große gleiche Teile aufteilst oder zerschneidest.
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