PPCM et PGCD de deux nombres — Mathématiques, 11–13
Calcule le PPCM et le PGCD de deux nombres avec des listes ou des facteurs premiers, choisis la méthode la plus rapide et sers-t'en pour résoudre des problèmes.
Le plus petit multiple et le plus grand diviseur communs
Le PPCM de deux nombres est le plus petit multiple qu'ils ont en commun ; le PGCD est le plus grand diviseur qu'ils ont en commun. Prends 8 et 12. Multiples de 8 : {8, 16, 24, 32, …} ; de 12 : {12, 24, 36, …}. Le premier commun est 24, donc PPCM(8, 12) = 24. Diviseurs de 8 : {1, 2, 4, 8} ; de 12 : {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Communs : {1, 2, 4}, le plus grand est 4, donc PGCD(8, 12) = 4. Pour le PPCM, tu peux arrêter la liste au produit 8 × 12 = 96, qui est déjà un multiple commun.
Pourquoi les facteurs premiers donnent la réponse sans listes
Décompose : 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3². Un multiple commun doit contenir les facteurs des deux nombres, donc le PPCM prend tous les nombres premiers, chacun avec son plus grand exposant : 2² × 3² = 36. Un diviseur commun ne peut contenir que ce que les deux nombres ont, donc le PGCD ne prend que les nombres premiers communs, avec leur plus petit exposant : 2 × 3 = 6. Vérifie : 36 ÷ 12 = 3 et 36 ÷ 18 = 2 ; 12 ÷ 6 = 2 et 18 ÷ 6 = 3.
84 et 90 : choisir la méthode, puis calculer
Avec des listes, le PPCM de 84 et 90 pourrait t'entraîner jusqu'à 84 × 90 = 7560 : peu pratique (avec 8 et 12, les listes vont plus vite). Donc décompose : 84 = 2² × 3 × 7 et 90 = 2 × 3² × 5. PPCM : tous les nombres premiers, plus grands exposants : 2² × 3² × 5 × 7 = 4 × 9 × 5 × 7 = 1260. PGCD : nombres premiers communs (2 et 3), plus petits exposants : 2 × 3 = 6. Vérifie : 1260 ÷ 84 = 15 et 1260 ÷ 90 = 14 ; 84 ÷ 6 = 14 et 90 ÷ 6 = 15.
Le piège : toujours multiplier les deux nombres
Une erreur raisonnable : prendre le produit pour le PPCM. Le produit est un multiple commun, mais pas toujours le plus petit. Regarde donc les nombres avant de calculer. Si l'un est multiple de l'autre, le PPCM est le plus grand et le PGCD le plus petit : PPCM(30, 6) = 30 et PGCD(30, 6) = 6, pas 180. Si l'un est premier, soit il divise l'autre et c'est le PGCD (PGCD(7, 21) = 7, PPCM = 21), soit non, et alors PGCD(15, 7) = 1 et PPCM = 15 × 7 = 105.
Où tu le vois en dehors de l'école : se retrouver et découper en parts égales
Deux feux de signalisation clignotent, l'un toutes les 12 secondes et l'autre toutes les 18. Ils clignotent ensemble toutes les 36 secondes : PPCM(12, 18). On veut découper une feuille rectangulaire de 360 mm sur 150 mm en carrés égaux, les plus grands possible, sans perte : le côté est PGCD(360, 150) = 30 mm, et on obtient 12 × 5 = 60 carrés. Le PPCM apparaît quand quelque chose se répète et qu'on veut la prochaine rencontre ; le PGCD quand on partage ou découpe en parts égales les plus grandes possible.
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