Mínimo común múltiplo y máximo común divisor — Matemáticas, 11–13
Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de dos números con listas o con factores primos, elige el método más rápido y úsalos para resolver problemas.
El menor múltiplo y el mayor divisor que dos números comparten
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos números es el menor múltiplo que comparten; el máximo común divisor (m.c.d.) es el mayor divisor que comparten. Toma el 8 y el 12. Múltiplos de 8: {8, 16, 24, 32, …}; de 12: {12, 24, 36, …}. El primero común es 24, así que m.c.m.(8, 12) = 24. Divisores de 8: {1, 2, 4, 8}; de 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Comunes: {1, 2, 4}, el mayor es 4, así que m.c.d.(8, 12) = 4. Para el m.c.m. puedes parar la lista en el producto 8 × 12 = 96, que ya es un múltiplo común.
Por qué los factores primos dan la respuesta sin listas
Descompón: 12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3². Un múltiplo común debe contener los factores de los dos números, por eso el m.c.m. lleva todos los primos, cada uno con su mayor exponente: 2² × 3² = 36. Un divisor común solo puede contener lo que tienen los dos, por eso el m.c.d. lleva solo los primos comunes, con su menor exponente: 2 × 3 = 6. Comprueba: 36 ÷ 12 = 3 y 36 ÷ 18 = 2; 12 ÷ 6 = 2 y 18 ÷ 6 = 3.
84 y 90: elegir el método y luego calcular
Con listas, el m.c.m. de 84 y 90 podría llevarte hasta 84 × 90 = 7560: nada práctico (con 8 y 12, las listas son más rápidas). Por eso descompón: 84 = 2² × 3 × 7 y 90 = 2 × 3² × 5. m.c.m.: todos los primos, mayores exponentes: 2² × 3² × 5 × 7 = 4 × 9 × 5 × 7 = 1260. m.c.d.: primos comunes (2 y 3), menores exponentes: 2 × 3 = 6. Comprueba: 1260 ÷ 84 = 15 y 1260 ÷ 90 = 14; 84 ÷ 6 = 14 y 90 ÷ 6 = 15.
La trampa: multiplicar siempre los dos números
Un despiste razonable: tomar el producto como m.c.m. El producto es un múltiplo común, pero no siempre el menor. Por eso mira los números antes de calcular. Si uno es múltiplo del otro, el m.c.m. es el mayor y el m.c.d. es el menor: m.c.m.(30, 6) = 30 y m.c.d.(30, 6) = 6, no 180. Si uno es primo, o divide al otro y es el m.c.d. (m.c.d.(7, 21) = 7, m.c.m. = 21), o no lo divide, y entonces m.c.d.(15, 7) = 1 y m.c.m. = 15 × 7 = 105.
Dónde lo ves fuera de la escuela: volver a coincidir y cortar en partes iguales
Dos luces de señalización parpadean, una cada 12 segundos y otra cada 18. Parpadean juntas cada 36 segundos: m.c.m.(12, 18). Una hoja rectangular de 360 mm por 150 mm se quiere cortar en cuadrados iguales, lo más grandes posible, sin desperdicio: el lado es m.c.d.(360, 150) = 30 mm, y salen 12 × 5 = 60 cuadrados. El m.c.m. aparece cuando algo se repite y quieres el próximo encuentro; el m.c.d. cuando repartes o cortas en partes iguales lo más grandes posible.
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