Matemática 7.º ano: Pensamento computacional com sequências
Matemática, 7.º ano (Portugal): Abstrair, decompor, reconhecer um padrão, escrever um algoritmo e depurá-lo, tudo numa só pergunta: este número é termo da sequência?
Cinco ferramentas, uma pergunta
Pergunta: 98 é termo da sequência −7, −4, −1, 2, …? Abstrair: guarda só o que importa, o primeiro termo (−7) e o passo (+3). Decompor: encontrar a regra, desfazê-la, verificar o resultado, três etapas simples. Reconhecer padrões: já conheces o «primeiro termo mais um passo constante». Algoritmo: escrever passos que valham para qualquer valor, não só para 98. Depurar: testar os passos em casos conhecidos e corrigir o que falha. A regra: o termo de ordem n é 3 × n − 10.
Um padrão que se reutiliza
Um teatro tem 14 lugares na fila 1 e mais 2 em cada fila seguinte, por isso a fila n tem 2 × n + 12 lugares: 14, 16, 18, 20… Há uma fila com exatamente 50 lugares? A forma é a da sequência anterior, logo os passos são os mesmos: subtrair 12 (38), dividir por 2 (19), e 19 é um número natural: sim, a fila 19. E 51? 51 − 12 = 39, 39 ÷ 2 = 19,5, não é uma ordem: não. Reconhecer o padrão permite reutilizar o procedimento: só os números mudam (somar 10 e dividir por 3 passaram a subtrair 12 e dividir por 2).
Um caso: o algoritmo de «x é termo?»
Sequência −7, −4, −1, 2, … com termo de ordem n igual a 3 × n − 10. Algoritmo: 1) somar 10 a x; 2) dividir por 3; 3) se o resultado for um número natural (1, 2, 3, …), x é o termo dessa ordem; se não, x não é termo. Caso x = 98: 98 + 10 = 108 e 108 ÷ 3 = 36, logo 98 é o 36.º termo. Verificação: 3 × 36 − 10 = 98 ✓. Caso x = 100: 100 + 10 = 110 e 110 ÷ 3 = 36,67…, que não é natural, logo 100 não é termo (o 36.º é 98 e o 37.º é 101).
Passou em dois testes, logo está certo
A versão do Rui do algoritmo diz: «soma 10, divide por 3 e, se o resultado for inteiro, x é termo». Funcionou com 98 e 100. Depurar é ir à procura dos casos difíceis. Experimenta x = −10: −10 + 10 = 0, 0 ÷ 3 = 0, que é inteiro, e diz «sim». Mas o primeiro termo é −7, na ordem 1, e não existe ordem 0. Passa-se o mesmo com −16 (ordem −2). A correção: verificar também que o resultado é pelo menos 1. Testa os extremos: o primeiro termo, valores antes dele, valores pelo meio.
Onde se vê: folhas de cálculo e programas
Numa folha de cálculo, põe as ordens 1 a 8 na coluna A e escreve =3*A1-10 na coluna B: −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14. Uma regra passou a procedimento que uma máquina repete sem pensar. Quem programa faz o que fizeste: divide a tarefa em blocos pequenos, testa cada um com valores fáceis e difíceis (o primeiro, o último, zero, negativos) e corrige o bloco que falha. Verificar se um valor pertence a uma lista construída por uma regra é um trabalho que os programas fazem com frequência.
Testa o que aprendeste
No problema «98 é termo de −7, −4, −1, 2, …?», que ação é abstrair?
- a) Dividir o trabalho em três etapas: achar a regra, desfazê-la, verificar
- b) Testar os passos num termo que já conheces, como o 14
- c) Guardar só o primeiro termo −7 e o passo +3, e pôr de parte o resto
- d) Usar mais tarde os mesmos passos para os lugares de um teatro
Resposta certa: c) Guardar só o primeiro termo −7 e o passo +3, e pôr de parte o resto — Certo: abstrair é extrair a informação essencial; aqui basta o primeiro termo e o passo.
A sequência −7, −4, −1, 2, … tem termo de ordem n igual a 3 × n − 10. Com o algoritmo (somar 10, dividir por 3, o resultado tem de ser natural), que número é termo?
- a) 60
- b) 61
- c) 64
- d) 62
Resposta certa: d) 62 — Certo: 62 + 10 = 72 e 72 ÷ 3 = 24, logo 62 é o 24.º termo. Verificação: 3 × 24 − 10 = 62.
O algoritmo do Rui (somar 10, dividir por 3, «resultado inteiro quer dizer que x é termo») diz que x = −10 é termo de −7, −4, −1, 2, … Qual é o erro?
- a) Nunca verifica se a ordem é pelo menos 1: (−10 + 10) ÷ 3 = 0, e não existe ordem 0
- b) Devia dividir por 10 em vez de 3
- c) Não há erro: −10 viria antes de −7, por isso é termo
- d) Não devia somar 10, porque o primeiro termo é −7
Resposta certa: a) Nunca verifica se a ordem é pelo menos 1: (−10 + 10) ÷ 3 = 0, e não existe ordem 0 — Certo: o primeiro termo está na ordem 1, por isso um resultado 0 (ou negativo) quer dizer que x não é da sequência.
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