Mathematik Klasse 7: Informatisches Denken mit Folgen
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Abstrahieren, zerlegen, ein Muster erkennen, einen Algorithmus schreiben und entfehlern, alles an einer Frage: Ist diese Zahl ein Glied der Folge?
Fünf Werkzeuge, eine Frage
Frage: Ist 98 ein Glied der Folge −7, −4, −1, 2, …? Abstrahieren: nur das Wesentliche behalten, das erste Glied (−7) und die Schrittweite (+3). Zerlegen: die Regel finden, sie umkehren, das Ergebnis prüfen, drei einfache Schritte. Muster erkennen: „erstes Glied plus feste Schrittweite“ kennst du schon. Algorithmus: Schritte schreiben, die für jeden Wert gelten, nicht nur für 98. Fehler suchen: die Schritte an bekannten Fällen testen und korrigieren, was nicht klappt. Die Regel: Das n-te Glied ist 3 × n − 10.
Ein Muster zum Wiederverwenden
Ein Theater hat in Reihe 1 14 Plätze und in jeder folgenden Reihe 2 mehr, also hat Reihe n genau 2 × n + 12 Plätze: 14, 16, 18, 20 … Gibt es eine Reihe mit genau 50 Plätzen? Gleiche Form wie die Folge davor, also dieselben Schritte: 12 abziehen (38), durch 2 teilen (19), und 19 ist eine natürliche Zahl: ja, Reihe 19. Und 51? 51 − 12 = 39, 39 ÷ 2 = 19,5, keine Reihennummer: nein. Ein erkanntes Muster lässt das Verfahren wiederverwenden: Nur die Zahlen ändern sich (10 addieren und durch 3 teilen wurde zu 12 abziehen und durch 2 teilen).
Ein Fall: der Algorithmus für „Ist x ein Glied?“
Folge −7, −4, −1, 2, … mit dem n-ten Glied 3 × n − 10. Algorithmus: 1) 10 zu x addieren; 2) durch 3 teilen; 3) ist das Ergebnis eine natürliche Zahl (1, 2, 3, …), ist x das Glied an dieser Stelle; sonst ist x kein Glied. Fall x = 98: 98 + 10 = 108 und 108 ÷ 3 = 36, also ist 98 das 36. Glied. Probe: 3 × 36 − 10 = 98 ✓. Fall x = 100: 100 + 10 = 110 und 110 ÷ 3 = 36,67…, keine natürliche Zahl, also ist 100 kein Glied (das 36. ist 98, das 37. ist 101).
Zwei Tests bestanden, also stimmt es
Ruis Fassung des Algorithmus lautet: „Addiere 10, teile durch 3, und wenn das Ergebnis ganz ist, ist x ein Glied.“ Sie klappte bei 98 und 100. Fehlersuche heißt, schwierige Fälle zu suchen. Probiere x = −10: −10 + 10 = 0, 0 ÷ 3 = 0, das ist ganz, und sie sagt „ja“. Doch das erste Glied ist −7 an Stelle 1, und eine Stelle 0 gibt es nicht. Dasselbe passiert bei −16 (Stelle −2). Die Korrektur: Auch prüfen, dass das Ergebnis mindestens 1 ist. Teste die Ränder: das erste Glied, Werte davor, Werte dazwischen.
Wo man es sieht: Tabellenkalkulation und Programme
Schreibe in einer Tabellenkalkulation die Stellen 1 bis 8 in Spalte A und tippe in Spalte B =3*A1-10: −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14. Eine Regel wurde zu einem Verfahren, das eine Maschine ohne Nachdenken wiederholt. Wer programmiert, macht, was du gemacht hast: die Aufgabe in kleine Bausteine zerlegen, jeden mit leichten und schwierigen Werten testen (der erste, der letzte, null, negative) und den fehlerhaften Baustein korrigieren. Zu prüfen, ob ein Wert in einer regelbasierten Liste vorkommt, ist eine häufige Aufgabe von Programmen.
Teste, was du gelernt hast
Beim Problem „Ist 98 ein Glied von −7, −4, −1, 2, …?“ – welche Handlung ist Abstrahieren?
- a) Die Arbeit in drei Schritte teilen: Regel finden, umkehren, prüfen
- b) Die Schritte an einem bekannten Glied testen, etwa 14
- c) Nur das erste Glied −7 und die Schrittweite +3 behalten, den Rest beiseitelassen
- d) Dieselben Schritte später für die Plätze eines Theaters verwenden
Richtige Antwort: c) Nur das erste Glied −7 und die Schrittweite +3 behalten, den Rest beiseitelassen — Richtig: Abstrahieren heißt, das Wesentliche herauszuholen; hier genügen das erste Glied und die Schrittweite.
Die Folge −7, −4, −1, 2, … hat das n-te Glied 3 × n − 10. Mit dem Algorithmus (10 addieren, durch 3 teilen, das Ergebnis muss natürlich sein): Welche Zahl ist ein Glied?
- a) 60
- b) 61
- c) 64
- d) 62
Richtige Antwort: d) 62 — Richtig: 62 + 10 = 72 und 72 ÷ 3 = 24, also ist 62 das 24. Glied. Probe: 3 × 24 − 10 = 62.
Ruis Algorithmus (10 addieren, durch 3 teilen, „ganzes Ergebnis heißt: x ist ein Glied“) sagt, x = −10 sei ein Glied von −7, −4, −1, 2, … Wo liegt der Fehler?
- a) Er prüft nie, ob die Stelle mindestens 1 ist: (−10 + 10) ÷ 3 = 0, und eine Stelle 0 gibt es nicht
- b) Er müsste durch 10 statt durch 3 teilen
- c) Es gibt keinen Fehler: −10 käme vor −7, also ist es ein Glied
- d) Er dürfte 10 nicht addieren, weil das erste Glied −7 ist
Richtige Antwort: a) Er prüft nie, ob die Stelle mindestens 1 ist: (−10 + 10) ÷ 3 = 0, und eine Stelle 0 gibt es nicht — Richtig: Das erste Glied steht an Stelle 1, ein Ergebnis 0 (oder negativ) heißt also, x gehört nicht zur Folge.
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