Matematica classe 7: Pensiero computazionale con le successioni
Matematica, classe 7 (Portogallo): Astrarre, scomporre, riconoscere uno schema, scrivere un algoritmo e correggerlo, tutto in una sola domanda: questo numero è un termine della successione?
Cinque strumenti, una domanda
Domanda: 98 è un termine della successione −7, −4, −1, 2, …? Astrarre: tieni solo ciò che conta, il primo termine (−7) e il passo (+3). Scomporre: trovare la regola, disfarla, controllare il risultato, tre fasi semplici. Riconoscere schemi: conosci già «primo termine più un passo costante». Algoritmo: scrivere passi validi per qualsiasi valore, non solo per 98. Correggere gli errori (debug): provare i passi su casi noti e correggere ciò che non funziona. La regola: il termine di posto n è 3 × n − 10.
Uno schema riutilizzabile
Un teatro ha 14 posti nella fila 1 e 2 in più in ogni fila successiva, quindi la fila n ha 2 × n + 12 posti: 14, 16, 18, 20… Esiste una fila con esattamente 50 posti? Stessa forma della successione precedente, quindi gli stessi passi: sottrarre 12 (38), dividere per 2 (19), e 19 è un numero naturale: sì, la fila 19. E 51? 51 − 12 = 39, 39 ÷ 2 = 19,5, non è un numero d'ordine: no. Riconoscere lo schema permette di riusare la procedura: cambiano solo i numeri (sommare 10 e dividere per 3 sono diventati sottrarre 12 e dividere per 2).
Un caso: l'algoritmo di «x è un termine?»
Successione −7, −4, −1, 2, … con termine di posto n uguale a 3 × n − 10. Algoritmo: 1) sommare 10 a x; 2) dividere per 3; 3) se il risultato è un numero naturale (1, 2, 3, …), x è il termine di quel posto; altrimenti x non è un termine. Caso x = 98: 98 + 10 = 108 e 108 ÷ 3 = 36, quindi 98 è il 36º termine. Verifica: 3 × 36 − 10 = 98 ✓. Caso x = 100: 100 + 10 = 110 e 110 ÷ 3 = 36,67…, che non è naturale, quindi 100 non è un termine (il 36º è 98 e il 37º è 101).
Ha superato due prove, quindi è giusto
La versione di Rui dell'algoritmo dice: «somma 10, dividi per 3 e, se il risultato è intero, x è un termine». Ha funzionato con 98 e 100. Correggere gli errori significa cercare i casi difficili. Prova x = −10: −10 + 10 = 0, 0 ÷ 3 = 0, che è intero, e risponde «sì». Ma il primo termine è −7, al posto 1, e il posto 0 non esiste. Succede lo stesso con −16 (posto −2). La correzione: controllare anche che il risultato sia almeno 1. Prova gli estremi: il primo termine, valori prima di esso, valori intermedi.
Dove si vede: fogli di calcolo e programmi
In un foglio di calcolo, metti i posti da 1 a 8 nella colonna A e scrivi =3*A1-10 nella colonna B: −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14. Una regola è diventata una procedura che una macchina ripete senza pensare. Chi programma fa ciò che hai fatto tu: divide il compito in piccoli blocchi, prova ciascuno con valori facili e difficili (il primo, l'ultimo, zero, negativi) e corregge il blocco che non funziona. Controllare se un valore appartiene a un elenco costruito da una regola è un lavoro che i programmi fanno spesso.
Metti alla prova quello che hai imparato
Nel problema «98 è un termine di −7, −4, −1, 2, …?», quale azione è astrazione?
- a) Dividere il lavoro in tre fasi: trovare la regola, disfarla, controllare
- b) Provare i passi su un termine già noto, come 14
- c) Tenere solo il primo termine −7 e il passo +3, e mettere da parte il resto
- d) Riusare più tardi gli stessi passi per i posti di un teatro
Risposta corretta: c) Tenere solo il primo termine −7 e il passo +3, e mettere da parte il resto — Giusto: astrarre è estrarre l'informazione essenziale; qui bastano il primo termine e il passo.
La successione −7, −4, −1, 2, … ha termine di posto n uguale a 3 × n − 10. Con l'algoritmo (sommare 10, dividere per 3, il risultato deve essere naturale), quale numero è un termine?
- a) 60
- b) 61
- c) 64
- d) 62
Risposta corretta: d) 62 — Giusto: 62 + 10 = 72 e 72 ÷ 3 = 24, quindi 62 è il 24º termine. Verifica: 3 × 24 − 10 = 62.
L'algoritmo di Rui (sommare 10, dividere per 3, «risultato intero significa che x è un termine») dice che x = −10 è un termine di −7, −4, −1, 2, … Qual è l'errore?
- a) Non controlla mai che il posto sia almeno 1: (−10 + 10) ÷ 3 = 0, e il posto 0 non esiste
- b) Dovrebbe dividere per 10 invece che per 3
- c) Non c'è errore: −10 verrebbe prima di −7, quindi è un termine
- d) Non dovrebbe sommare 10, perché il primo termine è −7
Risposta corretta: a) Non controlla mai che il posto sia almeno 1: (−10 + 10) ÷ 3 = 0, e il posto 0 non esiste — Giusto: il primo termine è al posto 1, quindi un risultato 0 (o negativo) significa che x non è nella successione.
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