Matemática 7.º ano: Funções: cada objeto tem uma só imagem
Matemática, 7.º ano (Portugal): Uma função é uma correspondência em que cada objeto do conjunto de partida fica ligado a uma só imagem, e a mesma função pode aparecer em setas, tabela, expressão ou gráfico.
Cada objeto, uma só imagem
Uma correspondência liga elementos de um conjunto de partida a elementos de um conjunto de chegada. É uma função quando cada elemento do conjunto de partida fica ligado a um único elemento do conjunto de chegada. O elemento de que partes chama-se objeto e aquele a que fica ligado chama-se imagem. Exemplo: liga cada aluno de {Ana, Rui, Eva} ao seu mês de aniversário: Ana → março, Rui → julho, Eva → março. Cada aluno tem um só mês, por isso é uma função. Não faz mal que a Ana e a Eva partilhem a mesma imagem.
Quando uma quantidade decide outra
Em muitas situações há duas quantidades em que uma decide a outra: a hora decide a temperatura no termómetro, o número de maçãs decide o preço a pagar. Só se consegue prever quando cada valor de partida dá um único resultado. Se uma regra desse dois resultados para o mesmo objeto, não saberias qual escolher e não conseguirias calcular nem desenhar nada. Por isso a matemática estuda a correspondência «um objeto, uma imagem». O sentido contrário é outra questão: os 15 °C podem ter acontecido a várias horas.
A mesma função de quatro maneiras
Regra: multiplica por 3 e tira 2, com objetos em {1, 2, 3, 4}. Expressão: f(x) = 3 × x − 2, logo f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 7 e f(4) = 10 (lê-se «f de 4 é igual a 10»). Tabela: x = 1, 2, 3, 4 e f(x) = 1, 4, 7, 10. Setas: 1 → 1, 2 → 4, 3 → 7, 4 → 10. Gráfico: os pontos (1, 1), (2, 4), (3, 7), (4, 10). O domínio é {1, 2, 3, 4}, o conjunto dos objetos. O contradomínio é {1, 4, 7, 10}, o conjunto das imagens; o conjunto de chegada pode ser maior, por exemplo, todos os números naturais.
Uma imagem repetida não estraga a função
Muita gente pensa que uma função não pode repetir valores, e rejeita a tabela x: 1, 2, 3, 4 e y: 6, 9, 9, 12 porque o 9 aparece duas vezes. Mas é uma função: cada x tem um só y, e dois objetos diferentes (o 2 e o 3) podem ter a mesma imagem. O que estraga uma correspondência é o contrário, um objeto com duas imagens. Na tabela x: 1, 2, 2, 3 e y: 5, 6, 8, 9, o objeto 2 fica ligado ao 6 e ao 8, e ninguém sabe qual é «a» imagem do 2. Olha para os objetos, não para as imagens: cada um precisa de uma e só uma.
Termómetros, códigos de barras e folhas de cálculo
Um termómetro que regista a temperatura de hora a hora define uma função: a cada hora corresponde uma só temperatura. O inverso já não: os 15 °C podem ter aparecido às 9 h e às 18 h, e por isso a temperatura não decide a hora. Numa loja, o código de barras de um produto leva a um só preço no sistema. Numa folha de cálculo, uma fórmula como =3*A1-2 dá um só resultado para cada valor de A1. Sempre que o resultado é único, há uma função por trás.
Testa o que aprendeste
Uma correspondência vai de um conjunto A para um conjunto B. O que tem de ser verdade para ser uma função?
- a) Todos os elementos de B têm de ser imagem de algum elemento de A
- b) Cada elemento de B tem de vir de um só elemento de A
- c) Cada elemento de A fica ligado a um só elemento de B
Resposta certa: c) Cada elemento de A fica ligado a um só elemento de B — Sim: cada objeto tem uma imagem, nem mais nem menos. A condição é sobre o conjunto de partida, e não sobre o de chegada.
A função g está definida em {1, 2, 3, 4} por g(x) = 5 × x − 3. Que objeto tem imagem 12?
- a) 3
- b) 57
- c) 9
Resposta certa: a) 3 — 5 × 3 − 3 = 12, logo o 3 é o objeto cuja imagem é 12, e o 3 pertence ao domínio.
Qual das tabelas NÃO representa uma função de x?
- a) x = 1, 2, 3, 4 → y = 6, 9, 9, 12
- b) x = 1, 2, 2, 3 → y = 5, 6, 8, 9
- c) x = 1, 2, 3, 4 → y = 7, 7, 7, 7
Resposta certa: b) x = 1, 2, 2, 3 → y = 5, 6, 8, 9 — O objeto 2 aparece com duas imagens, 6 e 8. Um objeto com duas imagens é exatamente o que uma função não admite.
Continua a explorar
Outras línguas
A carregar o MyLeoNes™…