Matemáticas 7.º curso: Funciones: cada objeto tiene una sola imagen
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Una función es una correspondencia en la que cada objeto del conjunto de partida queda unido a una sola imagen, y la misma función puede aparecer en flechas, tabla, expresión o gráfico.
Cada objeto, una sola imagen
Una correspondencia une elementos de un conjunto de partida con elementos de un conjunto de llegada. Es una función cuando cada elemento del conjunto de partida queda unido a un único elemento del conjunto de llegada. El elemento del que partes se llama objeto y aquel al que queda unido es su imagen. Ejemplo: une cada alumno de {Ana, Rui, Eva} con su mes de cumpleaños: Ana → marzo, Rui → julio, Eva → marzo. Cada alumno tiene un solo mes, así que es una función. No importa que Ana y Eva compartan la misma imagen.
Cuando una cantidad decide otra
En muchas situaciones hay dos cantidades y una decide la otra: la hora decide la temperatura del termómetro, el número de manzanas decide el precio que se paga. Solo se puede predecir cuando cada valor de partida da un único resultado. Si una regla diera dos resultados para el mismo objeto, no sabrías cuál elegir y no podrías calcular ni dibujar nada. Por eso las matemáticas estudian la correspondencia «un objeto, una imagen». El sentido contrario es otra cuestión: los 15 °C pueden haberse dado a varias horas.
La misma función de cuatro maneras
Regla: multiplica por 3 y resta 2, con objetos en {1, 2, 3, 4}. Expresión: f(x) = 3 × x − 2, luego f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 7 y f(4) = 10 (se lee «f de 4 es igual a 10»). Tabla: x = 1, 2, 3, 4 y f(x) = 1, 4, 7, 10. Flechas: 1 → 1, 2 → 4, 3 → 7, 4 → 10. Gráfico: los puntos (1, 1), (2, 4), (3, 7), (4, 10). El dominio es {1, 2, 3, 4}, el conjunto de los objetos. El recorrido es {1, 4, 7, 10}, el conjunto de las imágenes; el conjunto de llegada puede ser mayor, por ejemplo, todos los números naturales.
Una imagen repetida no estropea la función
Mucha gente cree que una función no puede repetir valores, y rechaza la tabla x: 1, 2, 3, 4 e y: 6, 9, 9, 12 porque el 9 aparece dos veces. Pero es una función: cada x tiene una sola y, y dos objetos distintos (el 2 y el 3) pueden tener la misma imagen. Lo que estropea una correspondencia es lo contrario, un objeto con dos imágenes. En la tabla x: 1, 2, 2, 3 e y: 5, 6, 8, 9, el objeto 2 queda unido al 6 y al 8, y nadie sabe cuál es «la» imagen del 2. Mira los objetos, no las imágenes: cada uno necesita una y solo una.
Termómetros, códigos de barras y hojas de cálculo
Un termómetro que registra la temperatura cada hora define una función: a cada hora le corresponde una sola temperatura. Al revés no: los 15 °C pueden haber aparecido a las 9 h y a las 18 h, así que la temperatura no decide la hora. En una tienda, el código de barras de un producto lleva a un único precio en el sistema. En una hoja de cálculo, una fórmula como =3*A1-2 da un solo resultado para cada valor de A1. Siempre que el resultado es único, hay una función detrás.
Pon a prueba lo que has aprendido
Una correspondencia va de un conjunto A a un conjunto B. ¿Qué tiene que ser cierto para que sea una función?
- a) Todos los elementos de B deben ser imagen de algún elemento de A
- b) Cada elemento de B debe venir de un solo elemento de A
- c) Cada elemento de A queda unido a un solo elemento de B
Respuesta correcta: c) Cada elemento de A queda unido a un solo elemento de B — Sí: cada objeto tiene una imagen, ni más ni menos. La condición es sobre el conjunto de partida, no sobre el de llegada.
La función g está definida en {1, 2, 3, 4} por g(x) = 5 × x − 3. ¿Qué objeto tiene imagen 12?
- a) 3
- b) 57
- c) 9
Respuesta correcta: a) 3 — 5 × 3 − 3 = 12, luego el 3 es el objeto cuya imagen es 12, y el 3 pertenece al dominio.
¿Cuál de las tablas NO representa una función de x?
- a) x = 1, 2, 3, 4 → y = 6, 9, 9, 12
- b) x = 1, 2, 2, 3 → y = 5, 6, 8, 9
- c) x = 1, 2, 3, 4 → y = 7, 7, 7, 7
Respuesta correcta: b) x = 1, 2, 2, 3 → y = 5, 6, 8, 9 — El objeto 2 aparece con dos imágenes, 6 y 8. Un objeto con dos imágenes es justo lo que una función no admite.
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