Mathématiques 7e année : Fonctions : chaque objet a une seule image
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Une fonction est une correspondance où chaque objet de l'ensemble de départ est relié à une seule image, et la même fonction peut se montrer en flèches, en tableau, en expression ou en graphique.
Chaque objet, une seule image
Une correspondance relie des éléments d'un ensemble de départ à des éléments d'un ensemble d'arrivée. C'est une fonction quand chaque élément de l'ensemble de départ est relié à un seul élément de l'ensemble d'arrivée. L'élément dont tu pars s'appelle l'objet, celui auquel il est relié est son image. Exemple : relie chaque élève de {Ana, Rui, Eva} à son mois d'anniversaire : Ana → mars, Rui → juillet, Eva → mars. Chaque élève a un seul mois, donc c'est une fonction. Peu importe qu'Ana et Eva aient la même image.
Quand une quantité en détermine une autre
Dans beaucoup de situations, il y a deux quantités dont l'une détermine l'autre : l'heure détermine la température au thermomètre, le nombre de pommes détermine le prix à payer. On ne peut prévoir que si chaque valeur de départ donne un seul résultat. Si une règle donnait deux résultats pour le même objet, tu ne saurais pas lequel choisir et tu ne pourrais rien calculer ni dessiner. C'est pourquoi les mathématiques étudient la correspondance « un objet, une image ». Le sens inverse est une autre question : 15 °C a pu être atteint à plusieurs heures.
Une même fonction de quatre façons
Règle : multiplie par 3 puis enlève 2, avec des objets dans {1, 2, 3, 4}. Expression : f(x) = 3 × x − 2, donc f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 7 et f(4) = 10 (on lit « f de 4 égale 10 »). Tableau : x = 1, 2, 3, 4 et f(x) = 1, 4, 7, 10. Flèches : 1 → 1, 2 → 4, 3 → 7, 4 → 10. Graphique : les points (1 ; 1), (2 ; 4), (3 ; 7), (4 ; 10). L'ensemble de définition est {1, 2, 3, 4}, l'ensemble des objets. L'ensemble image est {1, 4, 7, 10} ; l'ensemble d'arrivée peut être plus grand, par exemple tous les entiers naturels.
Une image répétée ne gâche pas la fonction
Beaucoup pensent qu'une fonction ne peut pas répéter de valeurs, et rejettent le tableau x : 1, 2, 3, 4 et y : 6, 9, 9, 12 parce que le 9 apparaît deux fois. Pourtant c'est une fonction : chaque x a un seul y, et deux objets différents (2 et 3) peuvent avoir la même image. Ce qui gâche une correspondance, c'est l'inverse : un objet avec deux images. Dans le tableau x : 1, 2, 2, 3 et y : 5, 6, 8, 9, l'objet 2 est relié à 6 et à 8, et personne ne sait laquelle est « l'» image de 2. Regarde les objets, pas les images : chacun en veut une et une seule.
Thermomètres, codes-barres et tableurs
Un thermomètre qui enregistre la température chaque heure définit une fonction : à chaque heure correspond une seule température. L'inverse est faux : 15 °C a pu apparaître à 9 h et à 18 h, donc la température ne détermine pas l'heure. Dans un magasin, le code-barres d'un produit mène à un seul prix dans le système. Dans un tableur, une formule comme =3*A1-2 donne un seul résultat pour chaque valeur de A1. Chaque fois que le résultat est unique, il y a une fonction derrière.
Teste ce que tu as appris
Une correspondance va d'un ensemble A vers un ensemble B. Que faut-il pour que ce soit une fonction ?
- a) Chaque élément de B doit être l'image d'un élément de A
- b) Chaque élément de B doit venir d'un seul élément de A
- c) Chaque élément de A est relié à un seul élément de B
Bonne réponse: c) Chaque élément de A est relié à un seul élément de B — Oui : chaque objet a une image, ni plus ni moins. La condition porte sur l'ensemble de départ, pas sur l'ensemble d'arrivée.
La fonction g est définie sur {1, 2, 3, 4} par g(x) = 5 × x − 3. Quel objet a pour image 12 ?
- a) 3
- b) 57
- c) 9
Bonne réponse: a) 3 — 5 × 3 − 3 = 12, donc 3 est l'objet dont l'image est 12, et 3 appartient à l'ensemble de définition.
Lequel de ces tableaux ne représente PAS une fonction de x ?
- a) x = 1, 2, 3, 4 → y = 6, 9, 9, 12
- b) x = 1, 2, 2, 3 → y = 5, 6, 8, 9
- c) x = 1, 2, 3, 4 → y = 7, 7, 7, 7
Bonne réponse: b) x = 1, 2, 2, 3 → y = 5, 6, 8, 9 — L'objet 2 apparaît avec deux images, 6 et 8. Un objet avec deux images, c'est exactement ce qu'une fonction n'admet pas.
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