Mathematik Klasse 7: Funktionen: jedes Element hat genau ein Bild
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Eine Funktion ist eine Zuordnung, in der jedes Element der Ausgangsmenge genau ein Bild hat, und dieselbe Funktion lässt sich mit Pfeilen, Tabelle, Term oder Graph zeigen.
Jedes Element, genau ein Bild
Eine Zuordnung verbindet Elemente einer Ausgangsmenge mit Elementen einer Zielmenge. Sie ist eine Funktion, wenn jedes Element der Ausgangsmenge mit genau einem Element der Zielmenge verbunden ist. Das Element, von dem du ausgehst, heißt Urbild oder Ausgangswert, das zugeordnete Element sein Bild. Beispiel: Ordne jedem Kind aus {Ana, Rui, Eva} seinen Geburtsmonat zu: Ana → März, Rui → Juli, Eva → März. Jedes Kind hat genau einen Monat, also ist es eine Funktion. Dass Ana und Eva dasselbe Bild haben, stört nicht.
Wenn eine Größe die andere bestimmt
In vielen Situationen bestimmt eine Größe die andere: Die Uhrzeit bestimmt die Temperatur am Thermometer, die Zahl der Äpfel bestimmt den Preis. Vorhersagen kann man nur, wenn jeder Ausgangswert genau ein Ergebnis liefert. Gäbe eine Regel für dasselbe Element zwei Ergebnisse, wüsstest du nicht, welches gilt, und könntest nichts berechnen oder zeichnen. Darum untersucht die Mathematik die Zuordnung «ein Element, ein Bild». Die Gegenrichtung ist eine andere Frage: 15 °C kann zu mehreren Uhrzeiten geherrscht haben.
Dieselbe Funktion auf vier Arten
Regel: mal 3 und minus 2, mit Ausgangswerten aus {1, 2, 3, 4}. Term: f(x) = 3 × x − 2, also f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 7 und f(4) = 10 (gelesen: «f von 4 ist 10»). Tabelle: x = 1, 2, 3, 4 und f(x) = 1, 4, 7, 10. Pfeile: 1 → 1, 2 → 4, 3 → 7, 4 → 10. Graph: die Punkte (1 | 1), (2 | 4), (3 | 7), (4 | 10). Die Definitionsmenge ist {1, 2, 3, 4}. Die Wertemenge {1, 4, 7, 10} enthält alle Bilder; die Zielmenge darf größer sein, zum Beispiel alle natürlichen Zahlen.
Ein wiederholtes Bild stört nicht
Viele glauben, eine Funktion dürfe keine Werte wiederholen, und lehnen die Tabelle x: 1, 2, 3, 4 und y: 6, 9, 9, 12 ab, weil die 9 zweimal vorkommt. Es ist aber eine Funktion: Jedes x hat genau ein y, und zwei verschiedene Ausgangswerte (2 und 3) dürfen dasselbe Bild haben. Was eine Zuordnung verdirbt, ist das Gegenteil: ein Ausgangswert mit zwei Bildern. In der Tabelle x: 1, 2, 2, 3 und y: 5, 6, 8, 9 ist die 2 mit 6 und mit 8 verbunden, und niemand weiß, welches «das» Bild von 2 ist. Achte auf die Ausgangswerte, nicht auf die Bilder: Jeder braucht genau eins.
Thermometer, Strichcodes und Tabellenkalkulation
Ein Thermometer, das jede Stunde die Temperatur aufzeichnet, definiert eine Funktion: Zu jeder Stunde gehört genau eine Temperatur. Umgekehrt stimmt das nicht: 15 °C kann um 9 Uhr und um 18 Uhr aufgetreten sein, die Temperatur bestimmt also nicht die Uhrzeit. In einem Geschäft führt der Strichcode eines Produkts im System zu genau einem Preis. In einer Tabellenkalkulation liefert eine Formel wie =3*A1-2 für jeden Wert von A1 ein einziges Ergebnis. Wo das Ergebnis eindeutig ist, steckt eine Funktion dahinter.
Teste, was du gelernt hast
Eine Zuordnung geht von einer Menge A in eine Menge B. Was muss gelten, damit sie eine Funktion ist?
- a) Jedes Element von B muss Bild eines Elements von A sein
- b) Jedes Element von B muss von genau einem Element von A kommen
- c) Jedes Element von A ist mit genau einem Element von B verbunden
Richtige Antwort: c) Jedes Element von A ist mit genau einem Element von B verbunden — Ja: Jedes Element hat ein Bild, nicht mehr und nicht weniger. Die Bedingung betrifft die Ausgangsmenge, nicht die Zielmenge.
Die Funktion g ist auf {1, 2, 3, 4} durch g(x) = 5 × x − 3 gegeben. Welches Element hat das Bild 12?
- a) 3
- b) 57
- c) 9
Richtige Antwort: a) 3 — 5 × 3 − 3 = 12, also ist 3 das Element mit dem Bild 12, und 3 liegt in der Definitionsmenge.
Welche Tabelle stellt KEINE Funktion von x dar?
- a) x = 1, 2, 3, 4 → y = 6, 9, 9, 12
- b) x = 1, 2, 2, 3 → y = 5, 6, 8, 9
- c) x = 1, 2, 3, 4 → y = 7, 7, 7, 7
Richtige Antwort: b) x = 1, 2, 2, 3 → y = 5, 6, 8, 9 — Das Element 2 erscheint mit zwei Bildern, 6 und 8. Ein Element mit zwei Bildern ist genau das, was eine Funktion nicht erlaubt.
Weiter erkunden
Andere Sprachen
MyLeoNes™ wird geladen…