Matematica classe 7: Funzioni: ogni oggetto ha una sola immagine
Matematica, classe 7 (Portogallo): Una funzione è una corrispondenza in cui ogni oggetto dell'insieme di partenza è collegato a una sola immagine, e la stessa funzione può comparire in frecce, tabella, espressione o grafico.
Ogni oggetto, una sola immagine
Una corrispondenza collega elementi di un insieme di partenza a elementi di un insieme di arrivo. È una funzione quando ogni elemento dell'insieme di partenza è collegato a un solo elemento dell'insieme di arrivo. L'elemento da cui parti si chiama oggetto e quello a cui è collegato è la sua immagine. Esempio: collega ogni alunno di {Ana, Rui, Eva} al suo mese di compleanno: Ana → marzo, Rui → luglio, Eva → marzo. Ogni alunno ha un solo mese, quindi è una funzione. Non importa che Ana ed Eva abbiano la stessa immagine.
Quando una quantità ne decide un'altra
In molte situazioni ci sono due quantità e una decide l'altra: l'ora decide la temperatura sul termometro, il numero di mele decide il prezzo da pagare. Si può prevedere solo quando ogni valore di partenza dà un unico risultato. Se una regola desse due risultati per lo stesso oggetto, non sapresti quale scegliere e non potresti calcolare né disegnare nulla. Per questo la matematica studia la corrispondenza «un oggetto, un'immagine». Il verso contrario è un'altra questione: i 15 °C possono esserci stati a ore diverse.
La stessa funzione in quattro modi
Regola: moltiplica per 3 e togli 2, con oggetti in {1, 2, 3, 4}. Espressione: f(x) = 3 × x − 2, quindi f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 7 e f(4) = 10 (si legge «f di 4 è uguale a 10»). Tabella: x = 1, 2, 3, 4 e f(x) = 1, 4, 7, 10. Frecce: 1 → 1, 2 → 4, 3 → 7, 4 → 10. Grafico: i punti (1, 1), (2, 4), (3, 7), (4, 10). Il dominio è {1, 2, 3, 4}, l'insieme degli oggetti. L'insieme delle immagini è {1, 4, 7, 10}; l'insieme di arrivo può essere più grande, per esempio tutti i numeri naturali.
Un'immagine ripetuta non rovina la funzione
Molti pensano che una funzione non possa ripetere valori, e scartano la tabella x: 1, 2, 3, 4 e y: 6, 9, 9, 12 perché il 9 compare due volte. Ma è una funzione: ogni x ha una sola y, e due oggetti diversi (il 2 e il 3) possono avere la stessa immagine. Ciò che rovina una corrispondenza è il contrario, un oggetto con due immagini. Nella tabella x: 1, 2, 2, 3 e y: 5, 6, 8, 9 l'oggetto 2 è collegato al 6 e all'8, e nessuno sa quale sia «l'» immagine del 2. Guarda gli oggetti, non le immagini: ognuno ne vuole una e una sola.
Termometri, codici a barre e fogli di calcolo
Un termometro che registra la temperatura ogni ora definisce una funzione: a ogni ora corrisponde una sola temperatura. Il contrario no: i 15 °C possono comparire alle 9 e alle 18, quindi la temperatura non decide l'ora. In un negozio, il codice a barre di un prodotto porta a un solo prezzo nel sistema. In un foglio di calcolo, una formula come =3*A1-2 dà un solo risultato per ogni valore di A1. Ogni volta che il risultato è unico, dietro c'è una funzione.
Metti alla prova quello che hai imparato
Una corrispondenza va da un insieme A a un insieme B. Che cosa deve essere vero perché sia una funzione?
- a) Ogni elemento di B deve essere immagine di un elemento di A
- b) Ogni elemento di B deve derivare da un solo elemento di A
- c) Ogni elemento di A è collegato a un solo elemento di B
Risposta corretta: c) Ogni elemento di A è collegato a un solo elemento di B — Sì: ogni oggetto ha un'immagine, né più né meno. La condizione riguarda l'insieme di partenza, non quello di arrivo.
La funzione g è definita su {1, 2, 3, 4} da g(x) = 5 × x − 3. Quale oggetto ha immagine 12?
- a) 3
- b) 57
- c) 9
Risposta corretta: a) 3 — 5 × 3 − 3 = 12, quindi 3 è l'oggetto la cui immagine è 12, e 3 appartiene al dominio.
Quale di queste tabelle NON rappresenta una funzione di x?
- a) x = 1, 2, 3, 4 → y = 6, 9, 9, 12
- b) x = 1, 2, 2, 3 → y = 5, 6, 8, 9
- c) x = 1, 2, 3, 4 → y = 7, 7, 7, 7
Risposta corretta: b) x = 1, 2, 2, 3 → y = 5, 6, 8, 9 — L'oggetto 2 compare con due immagini, 6 e 8. Un oggetto con due immagini è proprio ciò che una funzione non ammette.
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