Da conjetura à justificação — Matemática, 11–13
Classificar, descobrir uma regularidade, formular uma conjetura e distinguir testar de validar — com contraexemplos, exaustão e exemplos genéricos.
Um palpite que se pode testar
Classifica 2/4, 3/6, 4/8, 5/10 e 3/5. Quatro valem 1/2 e a 3/5 é o intruso: classificar é agrupar por uma característica. Nas quatro vês uma regularidade: o numerador é sempre metade do denominador. Daqui nasce uma conjetura: «se o numerador é metade do denominador, a fração vale 1/2». Testar é experimentar casos (6/12, 7/14…). Validar é mostrar que é verdade sempre. São coisas diferentes: os casos podem apoiar, mas só uma justificação fecha a questão.
Quatro maneiras de justificar
Há formas diferentes de justificar. Contraexemplo: «todos os números primos são ímpares» é falso, porque o 2 é primo e é par. Exaustão: com poucos casos, vês todos. Até 20 os primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19, oito no total, e só o 2 é par. Exemplo genérico: um caso escolhido de modo que o raciocínio serve para qualquer outro. Coerência lógica: encadeias factos já conhecidos. Cada uma serve a sua situação: um contraexemplo derruba uma afirmação, mas para provar «sempre» precisas de mais do que exemplos.
Um caso: a soma de dois ímpares consecutivos
Conjetura: a soma de dois números ímpares consecutivos é múltiplo de 4. Testes: 3 + 5 = 8, 7 + 9 = 16, 11 + 13 = 24, 99 + 101 = 200, todos múltiplos de 4, mas isto só testa. Para validar, usa um exemplo genérico: 19 + 21 = 40. O número entre eles é 20 e 19 + 21 = (20 − 1) + (20 + 1) = 2 × 20. Como 20 é par, 20 = 2 × 10 e a soma é 2 × 2 × 10 = 4 × 10. Nada disto depende do 19: com uma letra, (n − 1) + (n + 1) = 2 × n, e n é par. Logo é sempre múltiplo de 4.
Testar só casos do mesmo tipo
A Mariana experimentou 6 × 3 = 18, 5 × 4 = 20, 8 × 2 = 16 e 10 × 7 = 70 e concluiu: «multiplicar nunca dá um resultado menor do que o número de partida». Quatro testes certos e a conjetura é falsa: só experimentou números naturais maiores do que 1. Um contraexemplo chega: 12 × 1/3 = 4, e 4 é menor do que 12. Para evitar a armadilha, procura o caso esquisito: frações, o 0, o 1, números muito grandes. Um contraexemplo derruba uma conjetura, por muitos testes que ela tenha passado.
Onde se vê: o que ninguém provou ainda
Há conjeturas fáceis de testar que ninguém conseguiu validar. A de Goldbach diz: todo o número par maior do que 2 é a soma de dois números primos. 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7. Os computadores testaram-na para números enormes e continua por validar: testar muitíssimos casos não é justificar. Sempre que alguém diz «sempre» ou «nunca», pergunta: isto é um teste ou uma justificação?
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