Dalla congettura alla giustificazione — Matematica, 11–13
Classificare, scoprire una regolarità, formulare una congettura e distinguere verificare da convalidare — con controesempi, esaustione ed esempi generici.
Un'intuizione che si può verificare
Classifica 2/4, 3/6, 4/8, 5/10 e 3/5. Quattro valgono 1/2 e 3/5 è l'intruso: classificare è raggruppare per una caratteristica. Nelle quattro vedi una regolarità: il numeratore è sempre la metà del denominatore. Da qui nasce una congettura: «se il numeratore è la metà del denominatore, la frazione vale 1/2». Verificare è provare dei casi (6/12, 7/14…). Convalidare è mostrare che è vero sempre. Sono cose diverse: i casi possono sostenerla, ma solo una giustificazione chiude la questione.
Quattro modi di giustificare
Ci sono modi diversi di giustificare. Controesempio: «tutti i numeri primi sono dispari» è falso, perché 2 è primo ed è pari. Esaustione: con pochi casi, li vedi tutti. Fino a 20 i primi sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19, otto in tutto, e solo il 2 è pari. Esempio generico: un caso scelto in modo che il ragionamento valga per qualunque altro. Coerenza logica: concateni fatti già noti. Ognuno serve la sua situazione: un controesempio abbatte un'affermazione, ma per provare «sempre» servono più degli esempi.
Un caso: la somma di due dispari consecutivi
Congettura: la somma di due numeri dispari consecutivi è un multiplo di 4. Verifiche: 3 + 5 = 8, 7 + 9 = 16, 11 + 13 = 24, 99 + 101 = 200, tutti multipli di 4, ma questo verifica soltanto. Per convalidare usa un esempio generico: 19 + 21 = 40. Il numero in mezzo è 20 e 19 + 21 = (20 − 1) + (20 + 1) = 2 × 20. Poiché 20 è pari, 20 = 2 × 10 e la somma è 2 × 2 × 10 = 4 × 10. Niente dipende dal 19: con una lettera, (n − 1) + (n + 1) = 2 × n, e n è pari. Quindi è sempre un multiplo di 4.
Verificare solo casi dello stesso tipo
Mariana ha provato 6 × 3 = 18, 5 × 4 = 20, 8 × 2 = 16 e 10 × 7 = 70 e ha concluso: «moltiplicare non dà mai un risultato minore del numero di partenza». Quattro verifiche giuste e la congettura è falsa: ha provato solo numeri naturali maggiori di 1. Basta un controesempio: 12 × 1/3 = 4, e 4 è minore di 12. Per evitare la trappola, cerca il caso strano: frazioni, lo 0, l'1, numeri molto grandi. Un controesempio abbatte una congettura, per quante verifiche abbia superato.
Dove si vede: ciò che nessuno ha ancora provato
Alcune congetture sono facili da verificare e nessuno è riuscito a convalidarle. Quella di Goldbach dice: ogni numero pari maggiore di 2 è la somma di due numeri primi. 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7. I computer l'hanno verificata per numeri enormi e resta non dimostrata: verificare moltissimi casi non è giustificare. Quando qualcuno dice «sempre» o «mai», chiedi: è una verifica o una giustificazione?
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