De la conjecture à la justification — Mathématiques, 11–13
Classer, repérer une régularité, formuler une conjecture et distinguer tester de valider — avec contre-exemples, exhaustion et exemples génériques.
Une intuition qu'on peut tester
Classe 2/4, 3/6, 4/8, 5/10 et 3/5. Quatre valent 1/2 et 3/5 est l'intrus : classer, c'est regrouper selon une caractéristique. Dans les quatre, tu vois une régularité : le numérateur est toujours la moitié du dénominateur. De là naît une conjecture : « si le numérateur est la moitié du dénominateur, la fraction vaut 1/2 ». Tester, c'est essayer des cas (6/12, 7/14…). Valider, c'est montrer que c'est vrai à chaque fois. Ce n'est pas pareil : les cas peuvent l'appuyer, mais seule une justification tranche.
Quatre façons de justifier
Il y a différentes façons de justifier. Contre-exemple : « tous les nombres premiers sont impairs » est faux, car 2 est premier et pair. Exhaustion : avec peu de cas, tu les vois tous. Jusqu'à 20, les premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19, huit en tout, et seul 2 est pair. Exemple générique : un cas choisi pour que le raisonnement serve pour tout autre. Cohérence logique : tu enchaînes des faits déjà connus. Chacune convient à sa situation : un contre-exemple renverse une affirmation, mais pour prouver « toujours » il faut plus que des exemples.
Un cas : la somme de deux impairs consécutifs
Conjecture : la somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4. Tests : 3 + 5 = 8, 7 + 9 = 16, 11 + 13 = 24, 99 + 101 = 200, tous multiples de 4, mais ce n'est qu'un test. Pour valider, utilise un exemple générique : 19 + 21 = 40. Le nombre entre les deux est 20 et 19 + 21 = (20 − 1) + (20 + 1) = 2 × 20. Comme 20 est pair, 20 = 2 × 10 et la somme est 2 × 2 × 10 = 4 × 10. Rien de cela ne dépend de 19 : avec une lettre, (n − 1) + (n + 1) = 2 × n, et n est pair. Donc c'est toujours un multiple de 4.
Ne tester que des cas du même genre
Mariana a essayé 6 × 3 = 18, 5 × 4 = 20, 8 × 2 = 16 et 10 × 7 = 70 et a conclu : « multiplier ne donne jamais un résultat plus petit que le nombre de départ ». Quatre tests justes et la conjecture est fausse : elle n'a essayé que des entiers supérieurs à 1. Un contre-exemple suffit : 12 × 1/3 = 4, et 4 est plus petit que 12. Pour éviter le piège, cherche le cas bizarre : fractions, 0, 1, très grands nombres. Un contre-exemple renverse une conjecture, même si elle a passé beaucoup de tests.
Où on le voit : ce que personne n'a encore prouvé
Certaines conjectures sont faciles à tester et personne n'a réussi à les valider. Celle de Goldbach dit : tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers. 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7. Les ordinateurs l'ont testée pour des nombres énormes et elle reste non démontrée : tester énormément de cas, ce n'est pas justifier. Quand quelqu'un dit « toujours » ou « jamais », demande : est-ce un test ou une justification ?
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