De la conjetura a la justificación — Matemáticas, 11–13
Clasificar, descubrir una regularidad, formular una conjetura y distinguir comprobar de validar — con contraejemplos, exhaustión y ejemplos genéricos.
Una corazonada que se puede comprobar
Clasifica 2/4, 3/6, 4/8, 5/10 y 3/5. Cuatro valen 1/2 y 3/5 es la intrusa: clasificar es agrupar por una característica. En las cuatro ves una regularidad: el numerador es siempre la mitad del denominador. De ahí nace una conjetura: «si el numerador es la mitad del denominador, la fracción vale 1/2». Comprobar es probar casos (6/12, 7/14…). Validar es mostrar que es verdad siempre. Son cosas distintas: los casos pueden apoyarla, pero solo una justificación cierra la cuestión.
Cuatro maneras de justificar
Hay formas distintas de justificar. Contraejemplo: «todos los números primos son impares» es falso, porque el 2 es primo y es par. Exhaustión: con pocos casos, los ves todos. Hasta 20 los primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19, ocho en total, y solo el 2 es par. Ejemplo genérico: un caso elegido de modo que el razonamiento sirva para cualquier otro. Coherencia lógica: encadenas hechos ya conocidos. Cada una sirve a su situación: un contraejemplo derriba una afirmación, pero para probar «siempre» hace falta más que ejemplos.
Un caso: la suma de dos impares consecutivos
Conjetura: la suma de dos números impares consecutivos es múltiplo de 4. Pruebas: 3 + 5 = 8, 7 + 9 = 16, 11 + 13 = 24, 99 + 101 = 200, todos múltiplos de 4, pero eso solo comprueba. Para validar, usa un ejemplo genérico: 19 + 21 = 40. El número entre ellos es 20 y 19 + 21 = (20 − 1) + (20 + 1) = 2 × 20. Como 20 es par, 20 = 2 × 10 y la suma es 2 × 2 × 10 = 4 × 10. Nada de esto depende del 19: con una letra, (n − 1) + (n + 1) = 2 × n, y n es par. Luego siempre es múltiplo de 4.
Probar solo casos del mismo tipo
Mariana probó 6 × 3 = 18, 5 × 4 = 20, 8 × 2 = 16 y 10 × 7 = 70 y concluyó: «multiplicar nunca da un resultado menor que el número de partida». Cuatro pruebas correctas y la conjetura es falsa: solo probó números naturales mayores que 1. Basta un contraejemplo: 12 × 1/3 = 4, y 4 es menor que 12. Para evitar la trampa, busca el caso raro: fracciones, el 0, el 1, números muy grandes. Un contraejemplo derriba una conjetura, por muchas pruebas que haya superado.
Dónde se ve: lo que nadie ha probado aún
Hay conjeturas fáciles de comprobar que nadie ha logrado validar. La de Goldbach dice: todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos. 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7. Los ordenadores la han comprobado con números enormes y sigue sin validarse: comprobar muchísimos casos no es justificar. Siempre que alguien diga «siempre» o «nunca», pregunta: ¿esto es una prueba o una justificación?
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