Von der Vermutung zur Begründung — Mathematik, 11–13
Klassifizieren, eine Regelmäßigkeit entdecken, eine Vermutung aufstellen und Testen von Beweisen unterscheiden – mit Gegenbeispielen, Ausschöpfen und generischen Beispielen.
Eine Ahnung, die man prüfen kann
Ordne 2/4, 3/6, 4/8, 5/10 und 3/5. Vier sind 1/2 wert, und 3/5 fällt heraus: Klassifizieren heißt nach einem Merkmal gruppieren. In den vieren siehst du eine Regelmäßigkeit: Der Zähler ist immer die Hälfte des Nenners. Daraus entsteht eine Vermutung: „Ist der Zähler die Hälfte des Nenners, ist der Bruch 1/2 wert.“ Testen heißt Fälle ausprobieren (6/12, 7/14 …). Beweisen heißt zeigen, dass es immer stimmt. Das ist verschieden: Fälle können stützen, aber nur eine Begründung entscheidet.
Vier Arten zu begründen
Es gibt verschiedene Arten zu begründen. Gegenbeispiel: „Alle Primzahlen sind ungerade“ ist falsch, denn 2 ist prim und gerade. Ausschöpfen: Bei wenigen Fällen prüft man alle. Bis 20 sind die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 19, insgesamt acht, und nur 2 ist gerade. Generisches Beispiel: ein Fall, so gewählt, dass die Überlegung für jeden anderen gilt. Logische Folgerung: Man verkettet bekannte Tatsachen. Jede passt zu ihrer Lage: Ein Gegenbeispiel stürzt eine Aussage, aber um „immer“ zu beweisen, braucht man mehr als Beispiele.
Ein Fall: die Summe zweier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen
Vermutung: Die Summe zweier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen ist ein Vielfaches von 4. Tests: 3 + 5 = 8, 7 + 9 = 16, 11 + 13 = 24, 99 + 101 = 200, alles Vielfache von 4, aber das ist nur Testen. Zum Beweisen nimmst du ein generisches Beispiel: 19 + 21 = 40. Die Zahl dazwischen ist 20, und 19 + 21 = (20 − 1) + (20 + 1) = 2 × 20. Da 20 gerade ist, gilt 20 = 2 × 10, und die Summe ist 2 × 2 × 10 = 4 × 10. Nichts hängt von 19 ab: Mit einem Buchstaben ist (n − 1) + (n + 1) = 2 × n, und n ist gerade. Also ist sie immer ein Vielfaches von 4.
Nur Fälle derselben Art testen
Mariana probierte 6 × 3 = 18, 5 × 4 = 20, 8 × 2 = 16 und 10 × 7 = 70 und schloss: „Multiplizieren ergibt nie ein kleineres Ergebnis als die Ausgangszahl.“ Vier richtige Tests, und die Vermutung ist falsch: Sie probierte nur natürliche Zahlen über 1. Ein Gegenbeispiel genügt: 12 × 1/3 = 4, und 4 ist kleiner als 12. Um die Falle zu meiden, such den schrägen Fall: Brüche, die 0, die 1, sehr große Zahlen. Ein Gegenbeispiel stürzt eine Vermutung, egal wie viele Tests sie bestanden hat.
Wo man es sieht: was noch niemand bewiesen hat
Manche Vermutungen lassen sich leicht testen, und niemand hat sie bisher beweisen können. Die von Goldbach lautet: Jede gerade Zahl größer als 2 ist die Summe zweier Primzahlen. 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7. Computer haben sie für riesige Zahlen getestet, und sie ist weiter unbewiesen: Sehr viele Fälle zu testen ist kein Begründen. Sagt jemand „immer“ oder „nie“, frag: Ist das ein Test oder eine Begründung?
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