Matemática 6.º ano: Rodar um ponto e uma figura em torno de um centro
Matemática, 6.º ano (Portugal): Rodar um ponto, um triângulo ou um quadrilátero em torno de um centro, com um ângulo e um sentido dados, usando régua, compasso e transferidor.
Um centro, um ângulo e um sentido
Para rodar um ponto P precisas de três coisas: o centro O, o ângulo e o sentido (o dos ponteiros do relógio ou o contrário). Se P está a 4 cm de O e o rodas 40°, 80° e 120°, obténs P₁, P₂ e P₃, todos a 4 cm de O. Por isso ficam todos numa circunferência de centro O e raio 4 cm: o ponto só anda à volta do centro, nunca se aproxima nem se afasta.
Porque é que o compasso entra na conta
Uma rotação prende a figura ao centro, como uma porta presa às dobradiças. Cada ponto anda numa circunferência à volta do centro, e a distância dele ao centro nunca muda. É por isso que o compasso serve: com a ponta em O e a abertura igual a OP, desenha todos os lugares onde a imagem de P pode estar. O ângulo diz-te qual desses lugares é o certo.
Um caso: rodar o triângulo ABC 60° em torno de O
O triângulo ABC tem OA = 3 cm, OB = 5 cm e OC = 4 cm; a partir da semirreta OA, B está a 20° e C a 65°. Roda-o 60° no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Para cada vértice: compasso em O, com a abertura igual à distância ao vértice; transferidor em O, 60° a partir do vértice; marca a imagem. A', B' e C' ficam a 60°, 80° e 125° de OA. Une-os. Confirma: 80° − 60° = 20° e 125° − 60° = 65°, os mesmos de antes. Um quadrilátero faz-se igual, com quatro vértices.
O ângulo mede-se em O, não em P
O erro razoável: pôr o transferidor em P, porque é P que se vai mexer. Mas o ângulo de rotação é o ângulo POP', com o vértice no centro O. Outro erro: marcar P' na direção certa mas a uma distância diferente de O; então o ponto saiu da circunferência e a figura deforma-se. Regra: transferidor e compasso em O, e no fim confirma que OP' = OP.
Onde se vê: ponteiros, rodas e programas de geometria
O ponteiro dos minutos de um relógio é uma rotação a acontecer: do 12 ao 3 roda 90° (360° ÷ 4), do 12 ao 4 roda 120°, sempre no sentido dos ponteiros do relógio, e a sua ponta desenha uma circunferência. O mesmo vale para um ponto na borda da roda de uma bicicleta. Num programa de geometria dinâmica escolhes a figura, o centro e o ângulo, e o programa faz a construção que fizeste à mão.
Testa o que aprendeste
O ponto P está a 5 cm do centro O. Rodas P em torno de O com muitos ângulos diferentes. Onde ficam todas as imagens de P?
- a) Na reta que passa por O e por P
- b) Numa circunferência de centro P e raio 5 cm
- c) Numa circunferência de centro O e raio 5 cm
- d) Em circunferências de tamanhos diferentes, maiores para ângulos maiores
Resposta certa: c) Numa circunferência de centro O e raio 5 cm — Sim: rodar nunca muda a distância a O, por isso todas as imagens estão a 5 cm de O. Isso descreve uma circunferência de centro O.
OP = 4 cm. Rodar P em torno de O 40° dá P₁; rodá-lo 130° no mesmo sentido dá P₂. Qual é o ângulo P₁OP₂ e a que distância de O fica P₂?
- a) 170° e 4 cm
- b) 90° e 4 cm
- c) 130° e 4 cm
- d) 40° e 4 cm
Resposta certa: b) 90° e 4 cm — Certo: 130° − 40° = 90°, e uma rotação nunca muda a distância a O, por isso P₂ continua a 4 cm de O.
Tens de rodar o ponto P 60° em torno de O com um transferidor e um compasso. Onde os pões?
- a) Ambos em O; o compasso, aberto em OP, mantém P' à mesma distância
- b) Ambos em P, medindo 60° a partir de PO
- c) Só o transferidor em O; o ângulo sozinho marca P'
- d) Transferidor no ponto médio de PO, compasso em P
Resposta certa: a) Ambos em O; o compasso, aberto em OP, mantém P' à mesma distância — Certo: o ângulo mede-se no centro O, e o compasso em O garante OP' = OP, por isso P' fica na circunferência.
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