Mathématiques 6e année : Faire tourner un point et une figure autour d'un centre
Mathématiques, 6e année (Portugal) : Faire tourner un point, un triangle ou un quadrilatère autour d'un centre, d'un angle et dans un sens donnés, avec règle, compas et rapporteur.
Un centre, un angle et un sens
Pour faire tourner un point P, il te faut trois choses : le centre O, l'angle et le sens (celui des aiguilles d'une montre ou le contraire). Si P est à 4 cm de O et que tu le tournes de 40°, 80° et 120°, tu obtiens P₁, P₂ et P₃, tous à 4 cm de O. Ils sont donc tous sur un cercle de centre O et de rayon 4 cm : le point tourne autour du centre, sans jamais s'approcher ni s'éloigner.
Pourquoi le compas entre en jeu
Une rotation attache la figure à son centre, comme une porte attachée à ses gonds. Chaque point se déplace sur un cercle autour du centre, et sa distance au centre ne change jamais. C'est pourquoi le compas sert : la pointe en O et l'écartement égal à OP, il trace tous les endroits où l'image de P peut se trouver. L'angle te dit lequel de ces endroits est le bon.
Un cas : faire tourner le triangle ABC de 60° autour de O
Le triangle ABC a OA = 3 cm, OB = 5 cm et OC = 4 cm ; à partir de la demi-droite OA, B est à 20° et C à 65°. Fais-le tourner de 60° dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. Pour chaque sommet : compas en O, écartement égal à la distance au sommet ; rapporteur en O, 60° à partir du sommet ; marque l'image. A', B' et C' sont à 60°, 80° et 125° de OA. Relie-les. Vérifie : 80° − 60° = 20° et 125° − 60° = 65°, comme avant. Un quadrilatère se fait de la même façon, avec quatre sommets.
L'angle se mesure en O, pas en P
L'erreur raisonnable : poser le rapporteur en P, parce que c'est P qui va bouger. Mais l'angle de rotation est l'angle POP', dont le sommet est le centre O. Autre erreur : marquer P' dans la bonne direction mais à une autre distance de O ; le point quitte alors le cercle et la figure se déforme. Règle : rapporteur et compas en O, et vérifie à la fin que OP' = OP.
Où on le voit : aiguilles, roues et logiciels de géométrie
L'aiguille des minutes d'une horloge est une rotation en train de se faire : de 12 à 3 elle tourne de 90° (360° ÷ 4), de 12 à 4 de 120°, toujours dans le sens des aiguilles d'une montre, et sa pointe dessine un cercle. Il en va de même pour un point du bord d'une roue de vélo. Dans un logiciel de géométrie dynamique, tu choisis la figure, le centre et l'angle, et le logiciel fait la construction que tu as faite à la main.
Teste ce que tu as appris
Le point P est à 5 cm du centre O. Tu fais tourner P autour de O avec de nombreux angles différents. Où se trouvent toutes les images de P ?
- a) Sur la droite passant par O et P
- b) Sur un cercle de centre P et de rayon 5 cm
- c) Sur un cercle de centre O et de rayon 5 cm
- d) Sur des cercles de tailles différentes, plus grands pour des angles plus grands
Bonne réponse: c) Sur un cercle de centre O et de rayon 5 cm — Oui : tourner ne change jamais la distance à O, donc toutes les images sont à 5 cm de O. Cela décrit un cercle de centre O.
OP = 4 cm. Faire tourner P autour de O de 40° donne P₁ ; le faire tourner de 130° dans le même sens donne P₂. Quel est l'angle P₁OP₂ et à quelle distance de O se trouve P₂ ?
- a) 170° et 4 cm
- b) 90° et 4 cm
- c) 130° et 4 cm
- d) 40° et 4 cm
Bonne réponse: b) 90° et 4 cm — Exact : 130° − 40° = 90°, et une rotation ne change jamais la distance à O, donc P₂ reste à 4 cm de O.
Tu dois faire tourner le point P de 60° autour de O avec un rapporteur et un compas. Où les places-tu ?
- a) Les deux en O ; le compas, ouvert de OP, garde P' à la même distance
- b) Les deux en P, en mesurant 60° à partir de PO
- c) Rapporteur en O seulement ; l'angle seul place P'
- d) Rapporteur au milieu de PO, compas en P
Bonne réponse: a) Les deux en O ; le compas, ouvert de OP, garde P' à la même distance — Exact : l'angle se mesure au centre O, et le compas en O garantit OP' = OP, donc P' reste sur le cercle.
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