Matematica classe 6: Ruotare un punto e una figura attorno a un centro
Matematica, classe 6 (Portogallo): Ruotare un punto, un triangolo o un quadrilatero attorno a un centro, con un angolo e un verso dati, con riga, compasso e goniometro.
Un centro, un angolo e un verso
Per ruotare un punto P servono tre cose: il centro O, l'angolo e il verso (orario o antiorario). Se P dista 4 cm da O e lo ruoti di 40°, 80° e 120°, ottieni P₁, P₂ e P₃, tutti a 4 cm da O. Quindi stanno tutti su una circonferenza di centro O e raggio 4 cm: il punto gira soltanto attorno al centro, non si avvicina né si allontana.
Perché il compasso entra in gioco
Una rotazione fissa la figura al suo centro, come una porta fissata ai cardini. Ogni punto si muove lungo una circonferenza attorno al centro, e la sua distanza dal centro non cambia mai. Per questo serve il compasso: con la punta in O e l'apertura uguale a OP, disegna tutti i posti in cui può trovarsi l'immagine di P. L'angolo ti dice quale di questi posti è quello giusto.
Un caso: ruotare il triangolo ABC di 60° attorno a O
Il triangolo ABC ha OA = 3 cm, OB = 5 cm e OC = 4 cm; a partire dalla semiretta OA, B è a 20° e C a 65°. Ruotalo di 60° in senso antiorario. Per ogni vertice: compasso in O, con l'apertura uguale alla distanza dal vertice; goniometro in O, 60° a partire dal vertice; segna l'immagine. A', B' e C' finiscono a 60°, 80° e 125° da OA. Uniscili. Controlla: 80° − 60° = 20° e 125° − 60° = 65°, come prima. Un quadrilatero si fa allo stesso modo, con quattro vertici.
L'angolo si misura in O, non in P
L'errore ragionevole: mettere il goniometro in P, perché è P che si muoverà. Ma l'angolo di rotazione è l'angolo POP', con il vertice nel centro O. Un altro errore: segnare P' nella direzione giusta ma a una distanza diversa da O; allora il punto esce dalla circonferenza e la figura si deforma. Regola: goniometro e compasso in O, e alla fine controlla che OP' = OP.
Dove si vede: lancette, ruote e software di geometria
La lancetta dei minuti di un orologio è una rotazione in corso: dal 12 al 3 ruota di 90° (360° ÷ 4), dal 12 al 4 di 120°, sempre in senso orario, e la sua punta disegna una circonferenza. Lo stesso vale per un punto sul bordo della ruota di una bicicletta. In un software di geometria dinamica scegli la figura, il centro e l'angolo, e il programma fa la costruzione che tu hai fatto a mano.
Metti alla prova quello che hai imparato
Il punto P dista 5 cm dal centro O. Ruoti P attorno a O con molti angoli diversi. Dove si trovano tutte le immagini di P?
- a) Sulla retta che passa per O e per P
- b) Su una circonferenza di centro P e raggio 5 cm
- c) Su una circonferenza di centro O e raggio 5 cm
- d) Su circonferenze di dimensioni diverse, più grandi per angoli maggiori
Risposta corretta: c) Su una circonferenza di centro O e raggio 5 cm — Sì: ruotare non cambia mai la distanza da O, quindi tutte le immagini sono a 5 cm da O. Questo descrive una circonferenza di centro O.
OP = 4 cm. Ruotare P attorno a O di 40° dà P₁; ruotarlo di 130° nello stesso verso dà P₂. Quanto misura l'angolo P₁OP₂ e a che distanza da O sta P₂?
- a) 170° e 4 cm
- b) 90° e 4 cm
- c) 130° e 4 cm
- d) 40° e 4 cm
Risposta corretta: b) 90° e 4 cm — Esatto: 130° − 40° = 90°, e una rotazione non cambia mai la distanza da O, quindi P₂ resta a 4 cm da O.
Devi ruotare il punto P di 60° attorno a O con un goniometro e un compasso. Dove li metti?
- a) Entrambi in O; il compasso, aperto di OP, mantiene P' alla stessa distanza
- b) Entrambi in P, misurando 60° a partire da PO
- c) Solo il goniometro in O; l'angolo da solo colloca P'
- d) Goniometro nel punto medio di PO, compasso in P
Risposta corretta: a) Entrambi in O; il compasso, aperto di OP, mantiene P' alla stessa distanza — Esatto: l'angolo si misura nel centro O, e il compasso in O garantisce OP' = OP, quindi P' resta sulla circonferenza.
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