Mathematik Klasse 6: Einen Punkt und eine Figur um ein Zentrum drehen
Mathematik, Klasse 6 (Portugal): Einen Punkt, ein Dreieck oder ein Viereck um ein Zentrum mit gegebenem Winkel und Drehsinn drehen – mit Lineal, Zirkel und Winkelmesser.
Ein Zentrum, ein Winkel und ein Drehsinn
Um einen Punkt P zu drehen, brauchst du drei Dinge: das Zentrum O, den Winkel und den Drehsinn (im oder gegen den Uhrzeigersinn). Ist P 4 cm von O entfernt und drehst du ihn um 40°, 80° und 120°, entstehen P₁, P₂ und P₃, alle 4 cm von O entfernt. Sie liegen also alle auf einem Kreis um O mit Radius 4 cm: Der Punkt läuft nur um das Zentrum herum, er kommt nie näher und entfernt sich nie.
Warum der Zirkel ins Spiel kommt
Eine Drehung hält die Figur an ihrem Zentrum fest, wie eine Tür an ihren Angeln. Jeder Punkt bewegt sich auf einem Kreis um das Zentrum, und sein Abstand zum Zentrum ändert sich nie. Deshalb hilft der Zirkel: Mit der Spitze in O und der Öffnung OP zeichnet er alle Stellen, an denen das Bild von P liegen kann. Der Winkel sagt dir, welche davon die richtige ist.
Ein Beispiel: das Dreieck ABC um 60° um O drehen
Das Dreieck ABC hat OA = 3 cm, OB = 5 cm und OC = 4 cm; ab dem Strahl OA liegt B bei 20° und C bei 65°. Drehe es um 60° gegen den Uhrzeigersinn. Für jeden Eckpunkt: Zirkel in O, Öffnung gleich dem Abstand zum Eckpunkt; Winkelmesser in O, 60° ab dem Eckpunkt; Bild markieren. A', B' und C' liegen bei 60°, 80° und 125° von OA aus. Verbinde sie. Kontrolle: 80° − 60° = 20° und 125° − 60° = 65°, wie vorher. Ein Viereck geht genauso, mit vier Eckpunkten.
Der Winkel wird bei O gemessen, nicht bei P
Der naheliegende Fehler: den Winkelmesser an P anlegen, weil sich P ja bewegt. Aber der Drehwinkel ist der Winkel POP' mit dem Scheitel im Zentrum O. Ein weiterer Fehler: P' in der richtigen Richtung, aber in anderem Abstand von O einzeichnen; dann verlässt der Punkt den Kreis und die Figur verzerrt sich. Regel: Winkelmesser und Zirkel in O, und am Ende prüfen, dass OP' = OP.
Wo man es sieht: Uhrzeiger, Räder und Geometriesoftware
Der Minutenzeiger einer Uhr ist eine Drehung in Aktion: Von 12 bis 3 dreht er sich um 90° (360° ÷ 4), von 12 bis 4 um 120°, immer im Uhrzeigersinn, und seine Spitze zeichnet einen Kreis. Dasselbe gilt für einen Punkt am Rand eines Fahrradreifens. In einer dynamischen Geometriesoftware wählst du Figur, Zentrum und Winkel, und das Programm macht die Konstruktion, die du von Hand gemacht hast.
Teste, was du gelernt hast
Punkt P ist 5 cm vom Zentrum O entfernt. Du drehst P mit vielen verschiedenen Winkeln um O. Wo liegen alle Bilder von P?
- a) Auf der Geraden durch O und P
- b) Auf einem Kreis mit Mittelpunkt P und Radius 5 cm
- c) Auf einem Kreis mit Mittelpunkt O und Radius 5 cm
- d) Auf Kreisen verschiedener Größe, größer bei größeren Winkeln
Richtige Antwort: c) Auf einem Kreis mit Mittelpunkt O und Radius 5 cm — Ja: Drehen ändert den Abstand zu O nie, also liegen alle Bilder 5 cm von O entfernt. Das beschreibt einen Kreis um O.
OP = 4 cm. Dreht man P um O um 40°, erhält man P₁; dreht man es um 130° im selben Drehsinn, erhält man P₂. Wie groß ist der Winkel P₁OP₂, und wie weit ist P₂ von O entfernt?
- a) 170° und 4 cm
- b) 90° und 4 cm
- c) 130° und 4 cm
- d) 40° und 4 cm
Richtige Antwort: b) 90° und 4 cm — Richtig: 130° − 40° = 90°, und eine Drehung ändert den Abstand zu O nie, also ist P₂ weiter 4 cm von O entfernt.
Du sollst den Punkt P mit Winkelmesser und Zirkel um 60° um O drehen. Wo setzt du sie an?
- a) Beide in O; der Zirkel, auf OP geöffnet, hält P' im selben Abstand
- b) Beide in P, 60° ab PO messen
- c) Nur der Winkelmesser in O; der Winkel allein legt P' fest
- d) Winkelmesser am Mittelpunkt von PO, Zirkel in P
Richtige Antwort: a) Beide in O; der Zirkel, auf OP geöffnet, hält P' im selben Abstand — Richtig: Der Winkel wird im Zentrum O gemessen, und der Zirkel in O sichert OP' = OP, also bleibt P' auf dem Kreis.
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