Matemáticas 6.º curso: Girar un punto y una figura alrededor de un centro
Matemáticas, 6.º curso (Portugal): Girar un punto, un triángulo o un cuadrilátero alrededor de un centro, con un ángulo y un sentido dados, con regla, compás y transportador.
Un centro, un ángulo y un sentido
Para girar un punto P necesitas tres cosas: el centro O, el ángulo y el sentido (el de las agujas del reloj o el contrario). Si P está a 4 cm de O y lo giras 40°, 80° y 120°, obtienes P₁, P₂ y P₃, todos a 4 cm de O. Por eso están todos en una circunferencia de centro O y radio 4 cm: el punto solo da vueltas alrededor del centro, nunca se acerca ni se aleja.
Por qué el compás entra en la cuenta
Una rotación sujeta la figura a su centro, como una puerta sujeta a sus bisagras. Cada punto se mueve por una circunferencia alrededor del centro, y su distancia al centro no cambia nunca. Por eso sirve el compás: con la punta en O y la abertura igual a OP, dibuja todos los lugares donde puede estar la imagen de P. El ángulo te dice cuál de esos lugares es el correcto.
Un caso: girar el triángulo ABC 60° alrededor de O
El triángulo ABC tiene OA = 3 cm, OB = 5 cm y OC = 4 cm; a partir de la semirrecta OA, B está a 20° y C a 65°. Gíralo 60° en sentido contrario a las agujas del reloj. Para cada vértice: compás en O, con la abertura igual a la distancia al vértice; transportador en O, 60° a partir del vértice; marca la imagen. A', B' y C' quedan a 60°, 80° y 125° de OA. Únelos. Comprueba: 80° − 60° = 20° y 125° − 60° = 65°, igual que antes. Un cuadrilátero se hace igual, con cuatro vértices.
El ángulo se mide en O, no en P
El error razonable: poner el transportador en P, porque es P el que se va a mover. Pero el ángulo de rotación es el ángulo POP', con el vértice en el centro O. Otro error: marcar P' en la dirección correcta pero a otra distancia de O; entonces el punto se sale de la circunferencia y la figura se deforma. Regla: transportador y compás en O, y al final comprueba que OP' = OP.
Dónde se ve: agujas, ruedas y programas de geometría
La aguja de los minutos de un reloj es una rotación en marcha: del 12 al 3 gira 90° (360° ÷ 4), del 12 al 4 gira 120°, siempre en el sentido de las agujas del reloj, y su punta dibuja una circunferencia. Lo mismo le pasa a un punto del borde de la rueda de una bicicleta. En un programa de geometría dinámica eliges la figura, el centro y el ángulo, y el programa hace la construcción que tú hiciste a mano.
Pon a prueba lo que has aprendido
El punto P está a 5 cm del centro O. Giras P alrededor de O con muchos ángulos distintos. ¿Dónde quedan todas las imágenes de P?
- a) En la recta que pasa por O y por P
- b) En una circunferencia de centro P y radio 5 cm
- c) En una circunferencia de centro O y radio 5 cm
- d) En circunferencias de distinto tamaño, mayores para ángulos mayores
Respuesta correcta: c) En una circunferencia de centro O y radio 5 cm — Sí: girar nunca cambia la distancia a O, así que todas las imágenes están a 5 cm de O. Eso describe una circunferencia de centro O.
OP = 4 cm. Girar P alrededor de O 40° da P₁; girarlo 130° en el mismo sentido da P₂. ¿Cuál es el ángulo P₁OP₂ y a qué distancia de O queda P₂?
- a) 170° y 4 cm
- b) 90° y 4 cm
- c) 130° y 4 cm
- d) 40° y 4 cm
Respuesta correcta: b) 90° y 4 cm — Correcto: 130° − 40° = 90°, y una rotación nunca cambia la distancia a O, así que P₂ sigue a 4 cm de O.
Tienes que girar el punto P 60° alrededor de O con un transportador y un compás. ¿Dónde los pones?
- a) Ambos en O; el compás, abierto en OP, mantiene P' a la misma distancia
- b) Ambos en P, midiendo 60° desde PO
- c) Solo el transportador en O; el ángulo solo coloca P'
- d) Transportador en el punto medio de PO, compás en P
Respuesta correcta: a) Ambos en O; el compás, abierto en OP, mantiene P' a la misma distancia — Correcto: el ángulo se mide en el centro O, y el compás en O asegura OP' = OP, así que P' queda en la circunferencia.
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