Sequências decrescentes e leis de formação — Matemática, 11–13
Numa sequência decrescente cada termo é menor do que o anterior, e a lei aparece quando olhas para como cada termo nasce do anterior ou da sua ordem.
Cada termo menor do que o anterior
Uma sequência é decrescente quando cada termo é menor do que o anterior. Para descobrir a lei, pergunta como nasce cada termo a partir do anterior. Em 90, 78, 66, 54… subtrai-se 12 de cada vez, e o termo seguinte é 42. Em 1/3, 1/6, 1/9, 1/12… o numerador fica 1 e os denominadores são 3, 6, 9, 12: na ordem n o termo é 1/(3 × n). Em 2/3, 2/9, 2/27, 2/81… os denominadores são as potências 3, 9, 27, 81, por isso na ordem n o termo é 2/3ⁿ. Uma lei pode dizer-se por palavras ou por símbolos, e é só uma conjetura até servir para todos os termos que conheces.
Saltar em frente, preencher falhas, saber o fim
Para achar o 12.º termo de 200, 185, 170… podes subtrair 15 onze vezes, ou fazer um só cálculo a partir da ordem: 200 − 15 × 11 = 35. Comparar as duas maneiras faz parte de resolver problemas: listar os termos é seguro mas lento; uma lei a partir da ordem é rápida mas tem de ser testada. Uma lei também preenche uma falha (48, 40, ?, 24 dá 32) e deixa-te criar uma sequência: escolhe um primeiro termo e uma lei, por exemplo começar em 100 e subtrair 7. E mostra como a sequência acaba: 200 − 15 × 13 = 5, e a subtração seguinte ficaria abaixo de 0, ao passo que 2/3, 2/9, 2/27… nunca chegam a 0.
O 10.º termo, e o 50 é termo?
Sequência 200, 185, 170, 155… (subtrai-se 15). O 10.º termo está 9 saltos depois do primeiro: 200 − 15 × 9 = 200 − 135 = 65. O 50 é termo? De 200 até 50 descem-se 150, e 150 ÷ 15 = 10 saltos certos, por isso o 50 é o termo de ordem 11. E o 100? De 200 até 100 descem-se 100, e 100 ÷ 15 dá 6 e resto 10, não é um número natural de saltos: ao fim de 6 saltos estás em 110, ao fim de 7 em 95, e o 100 fica de fora. Logo, 100 não é termo.
A ordem n tem n − 1 saltos
Sequência 20, 17, 14, 11… Muita gente escreve o termo de ordem n como 20 − 3 × n: 20 é o começo e tira-se 3 de cada vez. Parece certo, mas testa: para n = 1 dá 20 − 3 = 17, e o primeiro termo é 20. O primeiro termo ainda não deu salto nenhum, por isso o termo de ordem n tem n − 1 saltos: 20 − 3 × (n − 1), o mesmo que 23 − 3 × n. Confirma: n = 1 dá 20 e n = 4 dá 23 − 12 = 11. Testa sempre uma lei nos termos que já tens.
Contagens decrescentes, depósitos e folhas de papel
As sequências decrescentes aparecem numa contagem decrescente (10, 9, 8…) e num depósito que perde a mesma quantidade de água por dia. Os formatos de papel dão uma com frações: uma folha de formato A0 tem 1 m² de área, e cada formato seguinte tem metade da área do anterior. Assim, A1, A2, A3 e A4 têm 1/2, 1/4, 1/8 e 1/16 de metro quadrado, com os denominadores a serem potências de 2. A folha do dia a dia, a A4, tem 1/16 m², o mesmo tipo de padrão de 2/3, 2/9, 2/27…
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