Successioni decrescenti e leggi di formazione — Matematica, 11–13
In una successione decrescente ogni termine è più piccolo del precedente, e la legge emerge guardando come nasce ogni termine dal precedente o dal suo posto.
Ogni termine più piccolo del precedente
Una successione è decrescente quando ogni termine è più piccolo del precedente. Per trovare la legge, chiediti come nasce ogni termine a partire dal precedente. In 90, 78, 66, 54… si sottrae 12 ogni volta, e il termine successivo è 42. In 1/3, 1/6, 1/9, 1/12… il numeratore resta 1 e i denominatori sono 3, 6, 9, 12: al posto n il termine è 1/(3 × n). In 2/3, 2/9, 2/27, 2/81… i denominatori sono le potenze 3, 9, 27, 81, quindi al posto n il termine è 2/3ⁿ. Una legge si può dire a parole o con simboli, e resta una congettura finché non vale per tutti i termini che conosci.
Saltare avanti, riempire buchi, conoscere la fine
Per trovare il 12º termine di 200, 185, 170… puoi sottrarre 15 undici volte, oppure fare un solo calcolo a partire dal posto: 200 − 15 × 11 = 35. Confrontare i due modi fa parte del risolvere problemi: elencare i termini è sicuro ma lento; una legge dal posto è veloce ma va verificata. Una legge riempie anche un buco (48, 40, ?, 24 dà 32) e ti fa creare una successione: scegli un primo termine e una legge, per esempio partire da 100 e sottrarre 7. E mostra come finisce una successione: 200 − 15 × 13 = 5, e la sottrazione successiva scenderebbe sotto lo 0, mentre 2/3, 2/9, 2/27… non arrivano mai a 0.
Il 10º termine, e il 50 è un termine?
Successione 200, 185, 170, 155… (si sottrae 15). Il 10º termine è 9 salti dopo il primo: 200 − 15 × 9 = 200 − 135 = 65. Il 50 è un termine? Da 200 a 50 si scende di 150, e 150 ÷ 15 = 10 salti esatti, quindi il 50 è il termine di posto 11. E il 100? Da 200 a 100 si scende di 100, e 100 ÷ 15 dà 6 con resto 10, non è un numero naturale di salti: dopo 6 salti sei a 110, dopo 7 a 95, e il 100 viene saltato. Quindi 100 non è un termine.
Il posto n ha n − 1 salti
Successione 20, 17, 14, 11… Molti scrivono il termine di posto n come 20 − 3 × n: 20 è la partenza e si toglie 3 ogni volta. Sembra giusto, ma provalo: per n = 1 dà 20 − 3 = 17, e il primo termine è 20. Il primo termine non ha ancora fatto alcun salto, quindi il termine di posto n ha n − 1 salti: 20 − 3 × (n − 1), che è uguale a 23 − 3 × n. Controlla: n = 1 dà 20 e n = 4 dà 23 − 12 = 11. Prova sempre una legge sui termini che hai già.
Conti alla rovescia, serbatoi e formati di carta
Le successioni decrescenti compaiono in un conto alla rovescia (10, 9, 8…) e in un serbatoio che perde ogni giorno la stessa quantità d'acqua. I formati della carta ne danno una con le frazioni: un foglio A0 ha un'area di 1 m², e ogni formato successivo ha metà dell'area del precedente. Così A1, A2, A3 e A4 misurano 1/2, 1/4, 1/8 e 1/16 di metro quadrato, con i denominatori potenze di 2. Il foglio di tutti i giorni, l'A4, è 1/16 m², lo stesso tipo di schema di 2/3, 2/9, 2/27…
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