Suites décroissantes et lois de formation — Mathématiques, 11–13
Dans une suite décroissante, chaque terme est plus petit que le précédent, et la loi apparaît quand on regarde comment chaque terme naît du précédent ou de son rang.
Chaque terme plus petit que le précédent
Une suite est décroissante quand chaque terme est plus petit que le précédent. Pour trouver la loi, demande-toi comment chaque terme se forme à partir du précédent. Dans 90, 78, 66, 54… on retire 12 à chaque fois, et le terme suivant est 42. Dans 1/3, 1/6, 1/9, 1/12… le numérateur reste 1 et les dénominateurs sont 3, 6, 9, 12 : au rang n le terme est 1/(3 × n). Dans 2/3, 2/9, 2/27, 2/81… les dénominateurs sont les puissances 3, 9, 27, 81, donc au rang n le terme est 2/3ⁿ. Une loi peut se dire avec des mots ou des symboles, et ce n'est qu'une conjecture tant qu'elle ne convient pas à tous les termes connus.
Sauter plus loin, combler des trous, connaître la fin
Pour trouver le 12e terme de 200, 185, 170…, tu peux retirer 15 onze fois, ou faire un seul calcul à partir du rang : 200 − 15 × 11 = 35. Comparer les deux façons fait partie de la résolution de problèmes : lister les termes est sûr mais lent ; une loi à partir du rang est rapide mais doit être testée. Une loi comble aussi un trou (48, 40, ?, 24 donne 32) et te permet de créer une suite : choisis un premier terme et une loi, par exemple partir de 100 et retirer 7. Et elle montre comment une suite se termine : 200 − 15 × 13 = 5, et la soustraction suivante passerait sous 0, alors que 2/3, 2/9, 2/27… n'atteignent jamais 0.
Le 10e terme, et 50 est-il un terme ?
Suite 200, 185, 170, 155… (on retire 15). Le 10e terme est 9 sauts après le premier : 200 − 15 × 9 = 200 − 135 = 65. 50 est-il un terme ? De 200 à 50 on descend de 150, et 150 ÷ 15 = 10 sauts exactement, donc 50 est le terme de rang 11. Et 100 ? De 200 à 100 on descend de 100, et 100 ÷ 15 donne 6 reste 10, ce n'est pas un nombre entier de sauts : après 6 sauts on est à 110, après 7 à 95, et 100 est sauté. Donc 100 n'est pas un terme.
Le rang n a n − 1 sauts
Suite 20, 17, 14, 11… Beaucoup écrivent le terme de rang n sous la forme 20 − 3 × n : 20 est le départ et on retire 3 à chaque fois. Cela semble juste, mais teste : pour n = 1 on obtient 20 − 3 = 17, alors que le premier terme est 20. Le premier terme n'a fait aucun saut, donc le terme de rang n a n − 1 sauts : 20 − 3 × (n − 1), soit 23 − 3 × n. Vérifie : n = 1 donne 20 et n = 4 donne 23 − 12 = 11. Teste toujours une loi sur les termes que tu as déjà.
Comptes à rebours, réservoirs et formats de papier
Les suites décroissantes se voient dans un compte à rebours (10, 9, 8…) et dans un réservoir qui perd la même quantité d'eau chaque jour. Les formats de papier en donnent une avec des fractions : une feuille A0 a une aire de 1 m², et chaque format suivant a la moitié de l'aire du précédent. Ainsi A1, A2, A3 et A4 mesurent 1/2, 1/4, 1/8 et 1/16 de mètre carré, les dénominateurs étant des puissances de 2. La feuille de tous les jours, l'A4, fait 1/16 m², le même genre de régularité que 2/3, 2/9, 2/27…
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