Fallende Folgen und ihre Bildungsregeln — Mathematik, 11–13

In einer fallenden Folge ist jedes Glied kleiner als das vorige, und die Regel zeigt sich, wenn man sieht, wie jedes Glied aus dem vorigen oder aus seinem Platz entsteht.

Jedes Glied kleiner als das vorige

Eine Folge ist fallend, wenn jedes Glied kleiner ist als das vorige. Um die Regel zu finden, frag dich, wie jedes Glied aus dem vorigen entsteht. In 90, 78, 66, 54… wird jedes Mal 12 abgezogen, und das nächste Glied ist 42. In 1/3, 1/6, 1/9, 1/12… bleibt der Zähler 1, und die Nenner sind 3, 6, 9, 12: An Platz n ist das Glied 1/(3 × n). In 2/3, 2/9, 2/27, 2/81… sind die Nenner die Potenzen 3, 9, 27, 81, also ist das Glied an Platz n gleich 2/3ⁿ. Eine Regel kann in Worten oder in Symbolen stehen, und sie bleibt eine Vermutung, bis sie zu allen bekannten Gliedern passt.

Vorspringen, Lücken füllen, das Ende kennen

Um das 12. Glied von 200, 185, 170… zu finden, kannst du elfmal 15 abziehen oder in einer Rechnung vom Platz aus vorgehen: 200 − 15 × 11 = 35. Beide Wege zu vergleichen gehört zum Problemlösen: Aufschreiben ist sicher, aber langsam; eine Regel vom Platz aus ist schnell, muss aber getestet werden. Eine Regel füllt auch eine Lücke (48, 40, ?, 24 ergibt 32) und lässt dich eine Folge erfinden: Wähle ein erstes Glied und eine Regel, etwa bei 100 starten und 7 abziehen. Und sie zeigt, wie eine Folge endet: 200 − 15 × 13 = 5, und die nächste Subtraktion läge unter 0, während 2/3, 2/9, 2/27… nie 0 erreichen.

Das 10. Glied, und ist 50 ein Glied?

Folge 200, 185, 170, 155… (es wird 15 abgezogen). Das 10. Glied liegt 9 Sprünge nach dem ersten: 200 − 15 × 9 = 200 − 135 = 65. Ist 50 ein Glied? Von 200 bis 50 geht es 150 hinunter, und 150 ÷ 15 = genau 10 Sprünge, also ist 50 das Glied an Platz 11. Und 100? Von 200 bis 100 geht es 100 hinunter, und 100 ÷ 15 ist 6 Rest 10, keine natürliche Zahl von Sprüngen: Nach 6 Sprüngen stehst du bei 110, nach 7 bei 95, und die 100 wird übersprungen. Also ist 100 kein Glied.

Platz n hat n − 1 Sprünge

Folge 20, 17, 14, 11… Viele schreiben das Glied an Platz n als 20 − 3 × n: 20 ist der Start, und jedes Mal werden 3 abgezogen. Das klingt richtig, aber teste es: Für n = 1 ergibt das 20 − 3 = 17, und das erste Glied ist 20. Das erste Glied hat noch keinen Sprung gemacht, also hat das Glied an Platz n genau n − 1 Sprünge: 20 − 3 × (n − 1), das ist dasselbe wie 23 − 3 × n. Prüfe: n = 1 ergibt 20, n = 4 ergibt 23 − 12 = 11. Teste eine Regel immer an den Gliedern, die du schon hast.

Countdowns, Tanks und Papierformate

Fallende Folgen zeigen sich in einem Countdown (10, 9, 8…) und in einem Tank, der jeden Tag gleich viel Wasser verliert. Papierformate liefern eine mit Brüchen: Ein Blatt im Format A0 hat 1 m² Fläche, und jedes nächste Format hat halb so viel Fläche wie das vorige. So haben A1, A2, A3 und A4 je 1/2, 1/4, 1/8 und 1/16 Quadratmeter, die Nenner sind Potenzen von 2. Das Alltagsblatt A4 hat 1/16 m², dasselbe Muster wie bei 2/3, 2/9, 2/27…

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