Sucesiones decrecientes y sus leyes de formación — Matemáticas, 11–13
En una sucesión decreciente cada término es menor que el anterior, y la ley aparece cuando miras cómo nace cada término del anterior o de su orden.
Cada término menor que el anterior
Una sucesión es decreciente cuando cada término es menor que el anterior. Para hallar la ley, pregúntate cómo nace cada término a partir del anterior. En 90, 78, 66, 54… se resta 12 cada vez, y el término siguiente es 42. En 1/3, 1/6, 1/9, 1/12… el numerador sigue siendo 1 y los denominadores son 3, 6, 9, 12: en el orden n el término es 1/(3 × n). En 2/3, 2/9, 2/27, 2/81… los denominadores son las potencias 3, 9, 27, 81, así que en el orden n el término es 2/3ⁿ. Una ley se puede decir con palabras o con símbolos, y sigue siendo una conjetura hasta que sirve para todos los términos que conoces.
Saltar adelante, rellenar huecos, saber el final
Para hallar el 12.º término de 200, 185, 170… puedes restar 15 once veces, o hacer un solo cálculo desde el orden: 200 − 15 × 11 = 35. Comparar las dos maneras forma parte de resolver problemas: listar los términos es seguro pero lento; una ley desde el orden es rápida pero hay que probarla. Una ley también rellena un hueco (48, 40, ?, 24 da 32) y te deja crear una sucesión: elige un primer término y una ley, por ejemplo empezar en 100 y restar 7. Y muestra cómo acaba una sucesión: 200 − 15 × 13 = 5, y la resta siguiente quedaría por debajo de 0, mientras que 2/3, 2/9, 2/27… nunca llegan a 0.
El 10.º término, ¿y el 50 es un término?
Sucesión 200, 185, 170, 155… (se resta 15). El 10.º término está 9 saltos después del primero: 200 − 15 × 9 = 200 − 135 = 65. ¿Es 50 un término? De 200 a 50 se bajan 150, y 150 ÷ 15 = 10 saltos exactos, así que 50 es el término de orden 11. ¿Y el 100? De 200 a 100 se bajan 100, y 100 ÷ 15 da 6 y resto 10, no es un número natural de saltos: tras 6 saltos estás en 110, tras 7 en 95, y el 100 se salta. Por tanto, 100 no es un término.
El orden n tiene n − 1 saltos
Sucesión 20, 17, 14, 11… Mucha gente escribe el término de orden n como 20 − 3 × n: 20 es el comienzo y se quita 3 cada vez. Suena bien, pero pruébalo: para n = 1 da 20 − 3 = 17, y el primer término es 20. El primer término aún no ha dado ningún salto, así que el término de orden n tiene n − 1 saltos: 20 − 3 × (n − 1), lo mismo que 23 − 3 × n. Comprueba: n = 1 da 20 y n = 4 da 23 − 12 = 11. Prueba siempre una ley con los términos que ya tienes.
Cuentas atrás, depósitos y hojas de papel
Las sucesiones decrecientes aparecen en una cuenta atrás (10, 9, 8…) y en un depósito que pierde la misma cantidad de agua cada día. Los formatos de papel dan una con fracciones: una hoja de formato A0 tiene 1 m² de área, y cada formato siguiente tiene la mitad del área del anterior. Así, A1, A2, A3 y A4 tienen 1/2, 1/4, 1/8 y 1/16 de metro cuadrado, con los denominadores potencias de 2. La hoja de todos los días, la A4, mide 1/16 m², el mismo tipo de patrón que 2/3, 2/9, 2/27…
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