Multiplicar frações e potências de base fracionária — 11–13
Uma fração de uma fração é um produto, e repetir a mesma fração como fator dá uma potência como (2/3)³.
Uma fração de uma fração
Multiplicar frações é tomar uma fração de uma fração. 1/2 × 1/5 é metade de um quinto. Desenha um quadrado de lado 10, com 100 quadrículas: 1/5 são 20 quadrículas, metade disso são 10, ou seja, 10/100 = 1/10. Por isso multiplicas os numeradores (1 × 1) e os denominadores (2 × 5): 1/10. Em geral, multiplicas em cima com em cima e em baixo com em baixo, e encurtas no fim: 3/4 × 2/9 = 6/36 = 1/6.
Porque é que os denominadores se multiplicam
Porque é que o produto de duas frações menores do que 1 é menor do que cada uma? Porque uma fração de uma fração é só um bocado de um bocado: metade de 1/5 é menos do que 1/5, e 1/10 é menor do que os dois fatores. Outra forma de ver, com o modelo do retângulo: divide um quadrado de lado 1 em 3 linhas iguais e 5 colunas iguais. Cada quadrícula é 1/3 × 1/5 = 1/15 do quadrado, e 15 quadrículas enchem-no. É por isso que os denominadores se multiplicam.
2/3 × 4/5 e (2/3)³
2/3 × 4/5. Divide um quadrado de lado 1 em 3 linhas e 5 colunas: 15 quadrículas. Sombreia 2 linhas (2/3) e 4 colunas (4/5). As quadrículas sombreadas nos dois sentidos formam um retângulo de 2 por 4: 8 quadrículas em 15, logo 2/3 × 4/5 = 8/15. Uma potência repete o mesmo fator: (2/3)³ = 2/3 × 2/3 × 2/3. Os numeradores dão 2 × 2 × 2 = 8 e os denominadores 3 × 3 × 3 = 27, logo (2/3)³ = 8/27.
O expoente é para os dois números
Em (2/5)², muita gente eleva só um dos números ou trata o expoente como um multiplicador: 2² = 4 sobre 5 dá 4/5, e 2/5 × 2 = 4/5 também. Ambos estão errados. A potência (2/5)² quer dizer 2/5 × 2/5, e o expoente diz quantas vezes a fração inteira é fator, por isso atua no numerador e no denominador: 2²/5² = 4/25. Uma confirmação: 4/5 é maior do que 2/5, mas o produto de duas frações menores do que 1 tem de ser menor do que cada fator.
Receitas e folhas dobradas
Uma receita pede 3/4 de chávena de farinha e tu fazes só 2/3 da receita: 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 chávena. Quando dobras uma folha ao meio, uma e outra vez, cada dobra reduz a área para metade: depois de 3 dobras cada parte é (1/2)³ = 1/8 da folha, isto é, 0,125, e depois de 5 dobras é (1/2)⁵ = 1/32. Em pensamento podes continuar: depois de 10 metades a parte é (1/2)¹⁰ = 1/1024, exatamente uma quadrícula de uma grelha quadrada de lado 32.
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