Moltiplicare frazioni e potenze di una frazione — Matematica, 11–13
Una frazione di una frazione è un prodotto, e ripetere la stessa frazione come fattore dà una potenza come (2/3)³.
Una frazione di una frazione
Moltiplicare frazioni significa prendere una frazione di una frazione. 1/2 × 1/5 è la metà di un quinto. Disegna un quadrato di lato 10, con 100 quadretti: 1/5 sono 20 quadretti, la metà sono 10, cioè 10/100 = 1/10. Perciò moltiplichi i numeratori (1 × 1) e i denominatori (2 × 5): 1/10. In generale, moltiplichi sopra con sopra e sotto con sotto, e semplifichi alla fine: 3/4 × 2/9 = 6/36 = 1/6.
Perché i denominatori si moltiplicano
Perché il prodotto di due frazioni minori di 1 è minore di ciascuna? Perché una frazione di una frazione è solo un pezzo di un pezzo: la metà di 1/5 è meno di 1/5, e 1/10 è minore di entrambi i fattori. Un altro modo di vederlo, con il modello del rettangolo: dividi un quadrato di lato 1 in 3 righe uguali e 5 colonne uguali. Ogni quadretto è 1/3 × 1/5 = 1/15 del quadrato, e 15 quadretti lo riempiono. Ecco perché i denominatori si moltiplicano.
2/3 × 4/5 e (2/3)³
2/3 × 4/5. Dividi un quadrato di lato 1 in 3 righe e 5 colonne: 15 quadretti. Ombreggia 2 righe (2/3) e 4 colonne (4/5). I quadretti ombreggiati in entrambi i sensi formano un rettangolo di 2 per 4: 8 quadretti su 15, quindi 2/3 × 4/5 = 8/15. Una potenza ripete lo stesso fattore: (2/3)³ = 2/3 × 2/3 × 2/3. I numeratori danno 2 × 2 × 2 = 8 e i denominatori 3 × 3 × 3 = 27, quindi (2/3)³ = 8/27.
L'esponente vale per entrambi i numeri
In (2/5)², molti elevano solo uno dei numeri o trattano l'esponente come un moltiplicatore: 2² = 4 su 5 dà 4/5, e anche 2/5 × 2 = 4/5. Entrambi sono sbagliati. La potenza (2/5)² significa 2/5 × 2/5, e l'esponente dice quante volte l'intera frazione è fattore, quindi agisce sul numeratore e sul denominatore: 2²/5² = 4/25. Una verifica: 4/5 è maggiore di 2/5, ma il prodotto di due frazioni minori di 1 deve essere minore di ciascun fattore.
Ricette e fogli piegati
Una ricetta richiede 3/4 di tazza di farina e tu ne fai solo 2/3: 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 tazza. Quando pieghi un foglio a metà, più e più volte, ogni piega dimezza l'area: dopo 3 pieghe ogni parte è (1/2)³ = 1/8 del foglio, cioè 0,125, e dopo 5 pieghe è (1/2)⁵ = 1/32. Con il pensiero puoi continuare: dopo 10 dimezzamenti la parte è (1/2)¹⁰ = 1/1024, esattamente un quadretto di una griglia quadrata di lato 32.
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