Multiplicar fracciones y potencias de una fracción — 11–13
Una fracción de una fracción es un producto, y repetir la misma fracción como factor da una potencia como (2/3)³.
Una fracción de una fracción
Multiplicar fracciones es tomar una fracción de una fracción. 1/2 × 1/5 es la mitad de un quinto. Dibuja un cuadrado de lado 10, con 100 cuadrículas: 1/5 son 20 cuadrículas, la mitad de eso son 10, es decir, 10/100 = 1/10. Por eso multiplicas los numeradores (1 × 1) y los denominadores (2 × 5): 1/10. En general, multiplicas arriba con arriba y abajo con abajo, y simplificas al final: 3/4 × 2/9 = 6/36 = 1/6.
Por qué se multiplican los denominadores
¿Por qué el producto de dos fracciones menores que 1 es menor que cada una? Porque una fracción de una fracción es solo un trozo de un trozo: la mitad de 1/5 es menos que 1/5, y 1/10 es menor que los dos factores. Otra forma de verlo, con el modelo del rectángulo: divide un cuadrado de lado 1 en 3 filas iguales y 5 columnas iguales. Cada cuadrícula es 1/3 × 1/5 = 1/15 del cuadrado, y 15 cuadrículas lo llenan. Por eso los denominadores se multiplican.
2/3 × 4/5 y (2/3)³
2/3 × 4/5. Divide un cuadrado de lado 1 en 3 filas y 5 columnas: 15 cuadrículas. Sombrea 2 filas (2/3) y 4 columnas (4/5). Las cuadrículas sombreadas en los dos sentidos forman un rectángulo de 2 por 4: 8 cuadrículas de 15, luego 2/3 × 4/5 = 8/15. Una potencia repite el mismo factor: (2/3)³ = 2/3 × 2/3 × 2/3. Los numeradores dan 2 × 2 × 2 = 8 y los denominadores 3 × 3 × 3 = 27, luego (2/3)³ = 8/27.
El exponente es para los dos números
En (2/5)², mucha gente eleva solo uno de los números o trata el exponente como un multiplicador: 2² = 4 sobre 5 da 4/5, y 2/5 × 2 = 4/5 también. Ambas están mal. La potencia (2/5)² significa 2/5 × 2/5, y el exponente dice cuántas veces la fracción entera es factor, por eso actúa en el numerador y en el denominador: 2²/5² = 4/25. Una comprobación: 4/5 es mayor que 2/5, pero el producto de dos fracciones menores que 1 tiene que ser menor que cada factor.
Recetas y hojas dobladas
Una receta pide 3/4 de taza de harina y tú haces solo 2/3 de la receta: 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 taza. Cuando doblas una hoja por la mitad una y otra vez, cada doblez reduce el área a la mitad: tras 3 dobleces cada parte es (1/2)³ = 1/8 de la hoja, es decir, 0,125, y tras 5 dobleces es (1/2)⁵ = 1/32. En la cabeza puedes seguir: tras 10 mitades la parte es (1/2)¹⁰ = 1/1024, exactamente una cuadrícula de una rejilla cuadrada de lado 32.
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