Brüche multiplizieren und Potenzen von Brüchen — Mathematik, 11–13
Ein Bruchteil eines Bruchteils ist ein Produkt, und derselbe Bruch als wiederholter Faktor ergibt eine Potenz wie (2/3)³.
Ein Bruchteil eines Bruchteils
Brüche multiplizieren heißt, einen Bruchteil von einem Bruchteil zu nehmen. 1/2 × 1/5 ist die Hälfte von einem Fünftel. Zeichne ein Quadrat mit Seite 10 und 100 Kästchen: 1/5 sind 20 Kästchen, die Hälfte davon sind 10, also 10/100 = 1/10. Du multiplizierst also die Zähler (1 × 1) und die Nenner (2 × 5): 1/10. Allgemein multiplizierst du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner und kürzt am Ende: 3/4 × 2/9 = 6/36 = 1/6.
Warum die Nenner multipliziert werden
Warum ist das Produkt zweier Brüche, die kleiner als 1 sind, kleiner als jeder Faktor? Weil ein Bruchteil eines Bruchteils nur ein Stück eines Stücks ist: Die Hälfte von 1/5 ist weniger als 1/5, und 1/10 ist kleiner als beide Faktoren. Eine andere Sicht mit dem Rechteckmodell: Teile ein Quadrat der Seite 1 in 3 gleiche Zeilen und 5 gleiche Spalten. Jedes Kästchen ist 1/3 × 1/5 = 1/15 des Quadrats, und 15 Kästchen füllen es. Darum werden die Nenner multipliziert.
2/3 × 4/5 und (2/3)³
2/3 × 4/5. Teile ein Quadrat der Seite 1 in 3 Zeilen und 5 Spalten: 15 Kästchen. Schraffiere 2 Zeilen (2/3) und 4 Spalten (4/5). Die in beiden Richtungen schraffierten Kästchen bilden ein Rechteck von 2 mal 4: 8 Kästchen von 15, also 2/3 × 4/5 = 8/15. Eine Potenz wiederholt denselben Faktor: (2/3)³ = 2/3 × 2/3 × 2/3. Die Zähler ergeben 2 × 2 × 2 = 8, die Nenner 3 × 3 × 3 = 27, also (2/3)³ = 8/27.
Der Exponent gilt für beide Zahlen
Bei (2/5)² potenzieren viele nur eine der beiden Zahlen oder behandeln den Exponenten wie einen Faktor: 2² = 4 über 5 ergibt 4/5, und 2/5 × 2 = 4/5 ebenso. Beides ist falsch. Die Potenz (2/5)² bedeutet 2/5 × 2/5, und der Exponent sagt, wie oft der ganze Bruch Faktor ist; er wirkt also auf Zähler und Nenner: 2²/5² = 4/25. Eine Kontrolle: 4/5 ist größer als 2/5, aber das Produkt zweier Brüche unter 1 muss kleiner sein als jeder Faktor.
Rezepte und gefaltetes Papier
Ein Rezept verlangt 3/4 Tasse Mehl und du machst nur 2/3 des Rezepts: 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 Tasse. Faltest du ein Blatt immer wieder in der Mitte, halbiert jede Faltung die Fläche: Nach 3 Faltungen ist jeder Teil (1/2)³ = 1/8 des Blatts, also 0,125, nach 5 Faltungen (1/2)⁵ = 1/32. Im Kopf kannst du weitermachen: Nach 10 Halbierungen ist der Teil (1/2)¹⁰ = 1/1024, genau ein Kästchen eines quadratischen Gitters mit Seite 32.
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