Multiplier des fractions et puissances d'une fraction — 11–13
Une fraction d'une fraction est un produit, et répéter la même fraction comme facteur donne une puissance comme (2/3)³.
Une fraction d'une fraction
Multiplier des fractions, c'est prendre une fraction d'une fraction. 1/2 × 1/5, c'est la moitié d'un cinquième. Dessine un carré de côté 10, avec 100 carreaux : 1/5 fait 20 carreaux, la moitié fait 10, soit 10/100 = 1/10. Tu multiplies donc les numérateurs (1 × 1) et les dénominateurs (2 × 5) : 1/10. En général, tu multiplies haut par haut et bas par bas, puis tu simplifies à la fin : 3/4 × 2/9 = 6/36 = 1/6.
Pourquoi les dénominateurs se multiplient
Pourquoi le produit de deux fractions inférieures à 1 est-il plus petit que chacune ? Parce qu'une fraction d'une fraction n'est qu'un morceau de morceau : la moitié de 1/5 est moins que 1/5, et 1/10 est plus petit que les deux facteurs. Autre façon de voir, avec le modèle du rectangle : partage un carré de côté 1 en 3 lignes égales et 5 colonnes égales. Chaque carreau vaut 1/3 × 1/5 = 1/15 du carré, et 15 carreaux le remplissent. C'est pourquoi les dénominateurs se multiplient.
2/3 × 4/5 et (2/3)³
2/3 × 4/5. Partage un carré de côté 1 en 3 lignes et 5 colonnes : 15 carreaux. Hachure 2 lignes (2/3) et 4 colonnes (4/5). Les carreaux hachurés dans les deux sens forment un rectangle de 2 sur 4 : 8 carreaux sur 15, donc 2/3 × 4/5 = 8/15. Une puissance répète le même facteur : (2/3)³ = 2/3 × 2/3 × 2/3. Les numérateurs donnent 2 × 2 × 2 = 8 et les dénominateurs 3 × 3 × 3 = 27, donc (2/3)³ = 8/27.
L'exposant vaut pour les deux nombres
Dans (2/5)², beaucoup élèvent un seul des nombres ou traitent l'exposant comme un multiplicateur : 2² = 4 sur 5 donne 4/5, et 2/5 × 2 = 4/5 aussi. Les deux sont faux. La puissance (2/5)² signifie 2/5 × 2/5, et l'exposant dit combien de fois la fraction entière est facteur ; il agit donc sur le numérateur et sur le dénominateur : 2²/5² = 4/25. Une vérification : 4/5 est plus grand que 2/5, mais le produit de deux fractions inférieures à 1 doit être plus petit que chaque facteur.
Recettes et feuilles pliées
Une recette demande 3/4 de tasse de farine et tu ne fais que 2/3 de la recette : 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 tasse. Quand tu plies une feuille en deux, encore et encore, chaque pli réduit l'aire de moitié : après 3 plis, chaque partie vaut (1/2)³ = 1/8 de la feuille, soit 0,125, et après 5 plis (1/2)⁵ = 1/32. En pensée tu peux continuer : après 10 moitiés, la partie vaut (1/2)¹⁰ = 1/1024, exactement un carreau d'un quadrillage carré de côté 32.
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