Matemática 7.º ano: Resolver equações do 1.º grau e problemas
Matemática, 7.º ano (Portugal): Resolver é desfazer operações nos dois membros sem mudar a solução, e depois confirmar que a resposta faz sentido na história.
Desfazer as operações, nos dois membros
Em 2,5x − 4 = 6 a incógnita foi multiplicada por 2,5 e depois tiraram-se 4, dando 6. Desfaz-se pela ordem inversa: 6 + 4 = 10 e depois 10 ÷ 2,5 = 4. Em forma de equação é a mesma regra da balança: o que fazes a um membro, fazes ao outro. 2,5x − 4 + 4 = 6 + 4 dá 2,5x = 10, e dividindo os dois membros por 2,5 sai x = 4. Confirma: 2,5 × 4 − 4 = 6. A solução não tem de ser inteira: 2x + 1 = 6 dá 2x = 5, logo x = 5/2 = 2,5.
Porque os passos mantêm a solução
Duas equações são equivalentes quando têm exatamente as mesmas soluções. Somar ou subtrair o mesmo número aos dois membros, ou multiplicar ou dividir os dois por um número diferente de zero, dá uma equação equivalente, porque se pode sempre voltar atrás com a operação inversa. Para justificar que 3x + 6 = 21 e 3x = 15 são equivalentes: a segunda sai da primeira subtraindo 6 aos dois membros, e volta-se somando 6. Depois 3x = 15 e x = 5 são equivalentes por divisão por 3. Já 3x = 15 e 3x = 12 não são: as soluções são 5 e 4.
Um problema, e a resposta faz sentido?
A Marta tem 25 € e poupa 3 € por semana; o Tomás tem 7 € e poupa 6 € por semana. Ao fim de quantas semanas têm a mesma quantia? Com x semanas: 25 + 3x = 7 + 6x. Subtrai 3x aos dois membros: 25 = 7 + 3x. Subtrai 7: 18 = 3x. Divide por 3: x = 6. Confirma: 25 + 3 × 6 = 43 e 7 + 6 × 6 = 43. O 6 serve à história? As semanas contam-se em números inteiros e 6 é um, por isso sim. Se a solução tivesse sido 4,5, não haveria nenhuma semana com quantias iguais, e era altura de reler o problema.
Mudar um termo de lado sem trocar o sinal
Resolve 4x + 9 = x + 30. Um deslize comum: 4x − x = 30 + 9, logo 3x = 39 e x = 13. Parece «passar o 9 para o outro lado», mas o 9 estava a somar, por isso, para o tirar, subtrai-se 9 aos dois membros, e fica 30 − 9. Testa o 13: 4 × 13 + 9 = 61, mas 13 + 30 = 43, não é igual. Certo: 4x − x = 30 − 9, logo 3x = 21 e x = 7. Testa: 4 × 7 + 9 = 37 e 7 + 30 = 37. Substitui sempre a resposta na equação original, e não numa que já mudaste.
Comparar dois planos
Duas lojas de aluguer de bicicletas: a A cobra 10 € fixos mais 2 € por hora, a B cobra 4 € fixos mais 5 € por hora. Quando custam o mesmo? 10 + 2x = 4 + 5x. Subtrai 2x: 10 = 4 + 3x. Subtrai 4: 6 = 3x, logo x = 2. Confirma: 10 + 2 × 2 = 14 e 4 + 5 × 2 = 14. Com menos de 2 horas a B é mais barata, com mais de 2 horas é a A. Comparar planos, dividir custos, misturar quantidades: sempre que duas maneiras de contar têm de coincidir, uma equação encontra o momento em que coincidem.
Testa o que aprendeste
Qual das equações é equivalente a 5x − 4 = 21?
- a) 5x = 17
- b) x − 4 = 4,2
- c) 5x = 21
- d) 5x = 25
Resposta certa: d) 5x = 25 — Certo: somar 4 aos dois membros dá 5x = 25, e volta-se atrás subtraindo 4. As duas têm solução 5: 5 × 5 − 4 = 21.
Qual é a solução de 7x − 9 = 3x + 11?
- a) x = 2
- b) x = 5
- c) x = 20
- d) x = 1/2
Resposta certa: b) x = 5 — Certo: 7x − 3x = 11 + 9, logo 4x = 20 e x = 5. Confirma: 7 × 5 − 9 = 26 e 3 × 5 + 11 = 26.
A Rita resolveu 3x + 8 = x + 20 assim: 3x − x = 20 + 8; 2x = 28; x = 14. Mas 14 não é a solução. O que correu mal?
- a) Devia ter dividido 28 por 3, o maior coeficiente
- b) Uma equação não pode ter x nos dois membros
- c) Somou 8 ao segundo membro; devia ser 20 − 8 = 12
- d) 3x − x é 4x, e não 2x
Resposta certa: c) Somou 8 ao segundo membro; devia ser 20 − 8 = 12 — Certo: o 8 estava a somar no primeiro membro, por isso subtrai-se 8 aos dois. Então 2x = 12 e x = 6. Confirma: 3 × 6 + 8 = 26 e 6 + 20 = 26.
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