Matematica classe 7: Risolvere equazioni di primo grado e problemi
Matematica, classe 7 (Portogallo): Risolvere significa disfare operazioni in entrambi i membri senza cambiare la soluzione, e poi controllare che la risposta abbia senso nella storia.
Disfare le operazioni, in entrambi i membri
In 2,5x − 4 = 6 l'incognita è stata moltiplicata per 2,5 e poi si sono tolti 4, ottenendo 6. Si disfa in ordine inverso: 6 + 4 = 10, poi 10 ÷ 2,5 = 4. In forma di equazione è la stessa regola della bilancia: ciò che fai a un membro, fallo all'altro. 2,5x − 4 + 4 = 6 + 4 dà 2,5x = 10, e dividendo i due membri per 2,5 si ottiene x = 4. Controlla: 2,5 × 4 − 4 = 6. La soluzione non deve essere intera: 2x + 1 = 6 dà 2x = 5, quindi x = 5/2 = 2,5.
Perché i passaggi mantengono la soluzione
Due equazioni sono equivalenti quando hanno esattamente le stesse soluzioni. Sommare o sottrarre lo stesso numero a entrambi i membri, o moltiplicarli o dividerli per un numero diverso da zero, dà un'equazione equivalente, perché si può sempre tornare indietro con l'operazione inversa. Per giustificare che 3x + 6 = 21 e 3x = 15 sono equivalenti: la seconda si ottiene dalla prima sottraendo 6 a entrambi i membri, e si torna sommando 6. Poi 3x = 15 e x = 5 sono equivalenti dividendo per 3. Invece 3x = 15 e 3x = 12 non lo sono: le soluzioni sono 5 e 4.
Un problema, e la risposta ha senso?
Marta ha 25 € e risparmia 3 € a settimana; Tomás ha 7 € e risparmia 6 € a settimana. Dopo quante settimane hanno la stessa somma? Con x settimane: 25 + 3x = 7 + 6x. Sottrai 3x a entrambi i membri: 25 = 7 + 3x. Sottrai 7: 18 = 3x. Dividi per 3: x = 6. Controlla: 25 + 3 × 6 = 43 e 7 + 6 × 6 = 43. Il 6 va bene per la storia? Le settimane si contano in numeri interi e 6 lo è, quindi sì. Se la soluzione fosse stata 4,5, non ci sarebbe stata nessuna settimana con somme uguali, e sarebbe stato il momento di rileggere il problema.
Spostare un termine senza cambiare il segno
Risolvi 4x + 9 = x + 30. Un errore comune: 4x − x = 30 + 9, quindi 3x = 39 e x = 13. Sembra «spostare il 9 dall'altra parte», ma il 9 si sommava, quindi per toglierlo si sottrae 9 a entrambi i membri, e diventa 30 − 9. Prova il 13: 4 × 13 + 9 = 61, ma 13 + 30 = 43, non è uguale. Corretto: 4x − x = 30 − 9, quindi 3x = 21 e x = 7. Prova: 4 × 7 + 9 = 37 e 7 + 30 = 37. Sostituisci sempre la risposta nell'equazione originale, non in una che hai già cambiato.
Confrontare due piani
Due negozi di noleggio bici: A chiede 10 € fissi più 2 € all'ora, B chiede 4 € fissi più 5 € all'ora. Quando costano uguale? 10 + 2x = 4 + 5x. Sottrai 2x: 10 = 4 + 3x. Sottrai 4: 6 = 3x, quindi x = 2. Controlla: 10 + 2 × 2 = 14 e 4 + 5 × 2 = 14. Con meno di 2 ore conviene B, con più di 2 ore conviene A. Confrontare piani, dividere spese, mescolare quantità: ogni volta che due modi di contare devono coincidere, un'equazione trova il momento in cui coincidono.
Metti alla prova quello che hai imparato
Quale delle equazioni è equivalente a 5x − 4 = 21?
- a) 5x = 17
- b) x − 4 = 4,2
- c) 5x = 21
- d) 5x = 25
Risposta corretta: d) 5x = 25 — Giusto: sommare 4 a entrambi i membri dà 5x = 25, e si torna indietro sottraendo 4. Entrambe hanno soluzione 5: 5 × 5 − 4 = 21.
Qual è la soluzione di 7x − 9 = 3x + 11?
- a) x = 2
- b) x = 5
- c) x = 20
- d) x = 1/2
Risposta corretta: b) x = 5 — Giusto: 7x − 3x = 11 + 9, quindi 4x = 20 e x = 5. Controlla: 7 × 5 − 9 = 26 e 3 × 5 + 11 = 26.
Rita ha risolto 3x + 8 = x + 20 così: 3x − x = 20 + 8; 2x = 28; x = 14. Ma 14 non è la soluzione. Cosa è andato storto?
- a) Doveva dividere 28 per 3, il coefficiente maggiore
- b) Un'equazione non può avere x in entrambi i membri
- c) Ha sommato 8 al secondo membro; doveva essere 20 − 8 = 12
- d) 3x − x è 4x, non 2x
Risposta corretta: c) Ha sommato 8 al secondo membro; doveva essere 20 − 8 = 12 — Giusto: l'8 si sommava nel primo membro, quindi si sottrae 8 a entrambi. Allora 2x = 12 e x = 6. Controlla: 3 × 6 + 8 = 26 e 6 + 20 = 26.
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